Exo Maths X MP #60 - Densité des fonctions nulle part dérivables

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2019.

On note $E$ l’ensemble des fonctions continues sur $[0,1]$ et $F$ l’ensemble des fonctions continues sur $[0,1]$, dérivables nulle part sur $[0,1]$. Montrer que $F$ est dense dans $E$ pour la norme infinie.

Merci à Rayan Guissous d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Élie Sévègnes (MP, Ferdinand-Foch) et Dhia Garbaya (MPSI, Esprit prépa) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à eux d'avoir rédigé leur correction !

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Étape 1 : $F$ est non vide

Notons :

• $\forall x\in {\mathbb{R}}^{+},\Delta (x)={\min }_{n\in \mathbb{N}}|x-n|$,
• $\forall x\in {\mathbb{R}}^{+},{\Delta }_n(x)=\frac{\Delta (2^{n}x)}{2^n}$,
• $\forall x\in [0,1],W(x)={\sum }_{n=0}^{+\infty }{\Delta }_n(x)$.

$\Delta$ est minimale sur $\mathbb{N}$ où elle vaut $0$, et est maximale sur $\mathbb{N}+\frac{1}{2}$ où elle vaut $\frac{1}{2}$, d'où $\Vert \Delta {\Vert }_{\infty }\le \frac{1}{2}$ et donc $\Vert \Delta {\Vert }_{\infty }\le \frac{1}{2^{n+1}}$. Les ${\Delta }_n$ étant continue et $\sum {\Delta }_n$ convergeant normalement, $W$ est continue.

Soit $x\in [0,1]$. On note, pour tout $p\in \mathbb{N}$, $x_p=\frac{\lfloor 2^{p}x\rfloor }{2^p}$ et $y_p=x_p+\frac{1}{2^p}$. Etudions la limite quand $p\to +\infty$ de $\frac{W(x_p)-W(y_p)}{x_p-y_p}$ :

• Si $n\ge p$, alors $2^n{x}_p,2^n{y}_p\in \mathbb{N}$. Donc ${\Delta }_n(x_p)={\Delta }_n(y_p)=0$ et $\frac{{\Delta }_n(x_p)-{\Delta }_n(y_p)}{x_p-y_p}=0$.
• Si $n<p$, alors $x_p,y_p\in I_1=[x_n,\frac{x_n+y_n}{2}]$ ou $x_p,y_p\in I_2=[\frac{x_n+y_n}{2},y_n]$. ${\Delta }_n$ a une pente $1$ sur $I_1$ et une pente $-1$ sur $I_2$. Donc $\frac{{\Delta }_n(x_p)-{\Delta }_n(y_p)}{x_p-y_p}=(-1{)}^{\lfloor 2^{n+1}x\rfloor }$.

Donc :

Notons $r_p=\frac{W(y_p)-W(x_p)}{y_p-x_p}$. $(r_p{)}_p$ ne converge pas puisque $r_{p+1}-r_p=(-1{)}^{\lfloor 2^{p+1}x\rfloor }$ ne tend pas vers $0$. Comme $x_p\underset{p\to \infty }{\to }x$ et $y_p\underset{p\to \infty }{\to }x$, on en conclut que $W$ n'est pas dérivable en $x$ et donc est nulle part dérivable sur $[0,1]$.

Étape 2 : $F$ est dense dans $E$

Soit $f\in \text{E}$. $f-W$ est continue sur $\left[0,1\right]$ et donc peut être approchée uniformément par une suite $(A_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ de fonctions polynomiales définies sur $\left[0,1\right]$ d'après le théorème de Weierstrass.

Notons $\forall n\in \mathbb{N},B_n=A_n+W$. $B_n$ est continue et dérivable nulle part puisque si $(B_n{)}_n$ était dérivable en $x\in [0,1]$, $W$ le serait aussi. $(B_n{)}_n$ est donc une suite de fonctions continues sur $[0,1]$ et dérivable nulle part qui converge uniformément vers $f$.