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Exo Maths X MP #60 - Densité des fonctions nulle part dérivables


Published
Revised
March 24, 2021
3 weeks ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2019.

On note  l’ensemble des fonctions continues sur  et  l’ensemble des fonctions continues sur , dérivables nulle part sur . Montrer que  est dense dans  pour la norme infinie.

Merci à Rayan Guissous d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Élie Sévègnes (MP, Ferdinand-Foch) et Dhia Garbaya (MPSI, Esprit prépa) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à eux d'avoir rédigé leur correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Étape 1 :  est non vide

Notons :

  • ,
  • ,
  • .

 est minimale sur  où elle vaut , et est maximale sur  où elle vaut , d'où  et donc . Les  étant continue et  convergeant normalement,  est continue.

Soit . On note, pour tout ,  et . Etudions la limite quand  de  :

  • Si , alors . Donc  et .
  • Si , alors  ou .  a une pente  sur  et une pente  sur . Donc .

Donc :



Notons .  ne converge pas puisque  ne tend pas vers . Comme  et , on en conclut que  n'est pas dérivable en  et donc est nulle part dérivable sur .

Étape 2 :  est dense dans 

Soit .  est continue sur  et donc peut être approchée uniformément par une suite  de fonctions polynomiales définies sur  d'après le théorème de Weierstrass.

Notons .  est continue et dérivable nulle part puisque si  était dérivable en ,  le serait aussi.  est donc une suite de fonctions continues sur  et dérivable nulle part qui converge uniformément vers .


Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.