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Exo Maths X MP #60 - Densité des fonctions nulle part dérivables


Published
Revised
March 24, 2021
10 months ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2019.

On note  l’ensemble des fonctions continues sur  et  l’ensemble des fonctions continues sur , dérivables nulle part sur . Montrer que  est dense dans  pour la norme infinie.

Merci à Rayan Guissous d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Élie Sévègnes (MP, Ferdinand-Foch) et Dhia Garbaya (MPSI, Esprit prépa) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à eux d'avoir rédigé leur correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Étape 1 :  est non vide

Notons :

  • ,
  • ,
  • .

 est minimale sur  où elle vaut , et est maximale sur  où elle vaut , d'où  et donc . Les  étant continue et  convergeant normalement,  est continue.

Soit . On note, pour tout ,  et . Etudions la limite quand  de  :

  • Si , alors . Donc  et .
  • Si , alors  ou .  a une pente  sur  et une pente  sur . Donc .

Donc :



Notons .  ne converge pas puisque  ne tend pas vers . Comme  et , on en conclut que  n'est pas dérivable en  et donc est nulle part dérivable sur .

Étape 2 :  est dense dans 

Soit .  est continue sur  et donc peut être approchée uniformément par une suite  de fonctions polynomiales définies sur  d'après le théorème de Weierstrass.

Notons .  est continue et dérivable nulle part puisque si  était dérivable en ,  le serait aussi.  est donc une suite de fonctions continues sur  et dérivable nulle part qui converge uniformément vers .


Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.