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Exo Maths X MP #28 - Valuation 2-adique de factorielle n


Published
Revised
December 3, 2020
9 months ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit  dans . On pose . On note  la valuation 2-adique de , c'est-à-dire le plus grand  tel que  divise .

Montrer que .

Merci à Bao Nguyen d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Si Mohamed Ait Takniouine (MP*, Henri-Poincaré) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Montrons d'abord que  pour  premier et  (formule de Legendre). Parmi les entiers de  à ,  sont multiples de  et  ont une valuation -adique égale à . Donc :



On obtient donc la formule de Legendre.

Montrons d'abord que pour  et ,  la somme des chiffres de  en base . Écrivons  :



En prenant  et , on obtient que .


Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.