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Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.
Soit un cercle de centre . On dit que de est rationnel si et le sont. Montrer que l'ensemble des points rationnels de est soit dense soit vide.
Merci à Khalil Sbai d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.
Bravo à Julien Brémont (MP*, Saint-Louis) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !
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Notons . Supposons non vide et montrons que est dense dans .
Fixons . Soit un point du plan n'appartenant pas à la tangente au cercle passant par . Dès lors, la droite reliant à coupe le cercle en un point distinct de . On va exprimer les coordonnées de en fonction des coordonnées .
Puisque la droite a pour coefficient directeur , on a:
Ainsi on peut écrire pour un certain réel . Puisque appartient au cercle , sa norme est égale à celle de :
Puisque est distinct de , on a , d'où :
et le point d'intersection est :
Faisant varier le point , on définit ainsi une application
qui est continue. Par ailleurs, est surjective car pour tout , .
Lorsque est un point rationnel, on et ainsi , si bien que et donc . Ainsi .
Or, est dense dans , i.e. :
Comme est continue :
Comme et que , nécessairement et donc . Autrement dit, est dense dans .
Exos Maths X MP
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