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Exo Maths X MP #70 - Points rationnels d'un cercle


Published
Revised
July 7, 2021
3 weeks ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit  un cercle de centre . On dit que  de  est rationnel si  et  le sont. Montrer que l'ensemble des points rationnels de  est soit dense soit vide.

Merci à Khalil Sbai d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Julien Brémont (MP*, Saint-Louis) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Notons . Supposons  non vide et montrons que  est dense dans .

Fixons . Soit  un point du plan n'appartenant pas à la tangente  au cercle  passant par . Dès lors, la droite  reliant  à  coupe le cercle  en un point  distinct de . On va exprimer les coordonnées de  en fonction des coordonnées .

Puisque la droite  a pour coefficient directeur , on a:



Ainsi on peut écrire  pour un certain réel . Puisque  appartient au cercle , sa norme est égale à celle de  :



Puisque  est distinct de , on a , d'où :



et le point d'intersection est :



Faisant varier le point , on définit ainsi une application



qui est continue. Par ailleurs,  est surjective car pour tout , .

Lorsque  est un point rationnel, on  et ainsi , si bien que  et donc . Ainsi .

Or,  est dense dans , i.e. :



Comme  est continue :



Comme  et que , nécessairement  et donc . Autrement dit,  est dense dans .


Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.