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Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.
Soit un corps. Soit . On cherche à résoudre l'équation dans pour . Pour ce faire, on introduit .
1. Montrer que est une sous-algèbre commutative de .
2. Montrer que .
3. Montrer que si vérifie , alors .
4. Supposons . À quoi est isomorphe (en tant que -algèbre) ? Conclure.
5. Résoudre dans le cas .
6. Résoudre dans le cas .
Merci à Amine Eagle d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.
Bravo à Lemin Mtr (MPSI, Ibn Ghazi) et Med Fadi Fadhlaoui (MPSI, Esprit prépa) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à eux d'avoir rédigé leur correction !
Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.
. Donc est un sous-espace vectoriel de .
. Donc l'élément neutre pour le produit appartient à .
. Donc est stable par produit car pour tout :
Ainsi, est une sous-algèbre de . De plus, et commutent pour le produit. Donc est une sous-algèbre commutative.
On pose .
D'après la question précédente, commute avec les éléments de , donc .
Réciproquement, soit avec . On a:
d'où et . Ainsi, . On en déduit que , et par conséquent .
Soit et tel que . Ainsi:
ce qui implique que d'après la question précédente.
Nous allons montrer que la fonction
définit un isomorphisme de -algèbres entre et .
est bien définie puisque et sont linéairement indépendants et donc tout élément de s'écrit de manière unique sous la forme .
est linéaire. Par ailleurs, et , donc envoie une base de sur une base de est donc un isomorphisme d'espaces vectoriels.
. Le fait que implique que, pour tout , . Ainsi, est isomorphisme de -algèbres entre et .
Résoudre dans revient alors à résoudre dans Dans l'ensemble des solutions est:
ce qui correspond dans , via l'application , à l'ensemble des solutions suivant:
Dans cette question, . Soit solution de .
est diagonalisable car annulé par le polynôme , scindé à racines simples, de racines et . On diagonalise avec la matrice de passage :
De même, est diagonalisable car annulé par le polynôme scindé à racines simples.
D'après la question 3, . D'après la question 2, et commutent. Donc et sont co-diagonalisables.
commute avec , donc stabilise les sous-espaces propres de . Comme ceux-ci sont de dimension , ce sont aussi des sous-espaces propres de . Ainsi, toute base de vecteurs propres de est aussi une base de vecteurs propres de . Par conséquent, la matrice de passage ci-dessus permet de diagonaliser :
L'équation devient alors équivalente au système ,
On en déduit que l'ensemble des solutions est :
D'après la question 4, l'ensemble des solutions de l'équation dans est:
L'ensemble des solutions de l'équation dans est donc le sous-ensemble de formé des matrices pour lesquelles les coefficients et sont rationnels.
Afin de trouver les et tels que ces coefficients soient rationnels, nous allons utiliser les polynômes de Tchébychev , où , caractérisés par la propriété :
De plus, il est connu que est à coefficients entiers et de coefficient dominant .
Soit et tels que et soient rationnels.
Étape 1 : est nécessairement impair.
ne peut pas être pair car s'il l'était, serait rationnel. Or :
et et ne sont pas rationnels. Désormais, supposons impair.
Étape 2 : .
En utilisant les identités et , on en déduit que et sont aussi rationnels. Écrivons où sont des entiers premiers entre eux. En appliquant le polynôme , on obtient :
En multipliant par , on obtient l'égalité suivante entre nombre entiers:
Le coefficient constant de est nul, car . Ainsi, est un entier multiple de et donc divise . Or et sont premiers entre eux, donc .
Comme où , l'équation ci-dessus implique que divise . Donc pour un certain entier . Ainsi .
Étape 3 : .
Posons . étant rationnel, l'est aussi, et en appliquant le raisonnement de l'étape 2 à , on trouve que l'on peut également écrire .
Par l'égalité , on a donc .
Si , alors et nécessairement . On aurait alors ce qui est impossible. Donc .
Ainsi, ou . Ce dernier cas est proscrit puisque n'est pas rationnel. D'où .
Étape 4 : .
Si , alors ou . Ce dernier cas est proscrit puisque cela impliquerait que et que est solution de , ce qui est impossible. Ainsi, et .
Étape 5 : Conclusion.
L'étape 4 nous permet d'en déduire que si est solution de dans , alors ou .
En se rappelant que et , on en déduit que :
Exos Maths X MP
Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.