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Exo Maths X MP #63 - Isomorphisme d'algèbre


Published
Revised
May 18, 2021
2 weeks ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit  un corps. Soit . On cherche à résoudre l'équation  dans  pour . Pour ce faire, on introduit .

1. Montrer que  est une sous-algèbre commutative de .

2. Montrer que .

3. Montrer que si  vérifie , alors .

4. Supposons . À quoi  est isomorphe (en tant que -algèbre) ? Conclure.

5. Résoudre dans le cas .

6. Résoudre dans le cas .

Merci à Amine Eagle d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Lemin Mtr (MPSI, Ibn Ghazi) et Med Fadi Fadhlaoui (MPSI, Esprit prépa) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à eux d'avoir rédigé leur correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Question 1

. Donc  est un sous-espace vectoriel de .

. Donc l'élément neutre pour le produit appartient à .

. Donc  est stable par produit car pour tout  :



Ainsi,  est une sous-algèbre de . De plus,  et  commutent pour le produit. Donc  est une sous-algèbre commutative.

Question 2

On pose .

D'après la question précédente,  commute avec les éléments de , donc .

Réciproquement, soit  avec . On a:



 d'où  et . Ainsi, . On en déduit que , et par conséquent . 

Question 3

Soit  et  tel que . Ainsi:



ce qui implique que  d'après la question précédente.

Question 4

Nous allons montrer que la fonction



définit un isomorphisme de -algèbres entre  et .

 est bien définie puisque  et  sont linéairement indépendants et donc tout élément de  s'écrit de manière unique sous la forme .

 est linéaire. Par ailleurs,  et , donc  envoie une base de  sur une base de   est donc un isomorphisme d'espaces vectoriels.

. Le fait que  implique que, pour tout , . Ainsi,  est isomorphisme de -algèbres entre  et .

Résoudre  dans  revient alors à résoudre  dans  Dans  l'ensemble des solutions est:



ce qui correspond dans , via l'application , à l'ensemble des solutions suivant:



Question 5

Dans cette question, . Soit  solution de .

 est diagonalisable car annulé par le polynôme , scindé à racines simples, de racines  et . On diagonalise  avec la matrice de passage :



De même,  est diagonalisable car annulé par le polynôme  scindé à racines simples.

D'après la question 3, . D'après la question 2,  et  commutent. Donc  et  sont co-diagonalisables.

 commute avec , donc stabilise les sous-espaces propres de . Comme ceux-ci sont de dimension , ce sont aussi des sous-espaces propres de . Ainsi, toute base de vecteurs propres de  est aussi une base de vecteurs propres de . Par conséquent, la matrice de passage  ci-dessus permet de diagonaliser  :



L'équation  devient alors équivalente au système ,

On en déduit que l'ensemble des solutions est :



Question 6

D'après la question 4, l'ensemble  des solutions de l'équation  dans  est:



L'ensemble  des solutions de l'équation  dans  est donc le sous-ensemble de  formé des matrices pour lesquelles les coefficients  et  sont rationnels.

Afin de trouver les  et  tels que ces coefficients soient rationnels, nous allons utiliser les polynômes de Tchébychev , où , caractérisés par la propriété :



De plus, il est connu que  est à coefficients entiers et de coefficient dominant .

Soit  et  tels que  et  soient rationnels.

Étape 1 :  est nécessairement impair.

 ne peut pas être pair car s'il l'était,  serait rationnel. Or :



et  et  ne sont pas rationnels. Désormais, supposons  impair.

Étape 2 : .

En utilisant les identités  et , on en déduit que  et  sont aussi rationnels. Écrivons  sont des entiers premiers entre eux. En appliquant le polynôme , on obtient :



En multipliant par , on obtient l'égalité suivante entre nombre entiers:



Le coefficient constant de  est nul, car . Ainsi,  est un entier multiple de  et donc  divise . Or  et  sont premiers entre eux, donc .

Comme , l'équation ci-dessus implique que  divise . Donc pour un certain entier . Ainsi .

Étape 3 : .

Posons .  étant rationnel,  l'est aussi, et en appliquant le raisonnement de l'étape 2 à , on trouve que l'on peut également écrire .

Par l'égalité , on a donc .

 Si , alors  et nécessairement . On aurait alors  ce qui est impossible. Donc .

Ainsi,  ou . Ce dernier cas est proscrit puisque  n'est pas rationnel. D'où .

Étape 4 : .

Si , alors  ou . Ce dernier cas est proscrit puisque cela impliquerait que  et que  est solution de , ce qui est impossible. Ainsi,  et .

Étape 5 : Conclusion.

L'étape 4 nous permet d'en déduire que si  est solution de  dans , alors  ou .

En se rappelant que  et , on en déduit que :

  • si ,  et , donc la seule solution est .
  • si ,  et , donc la seule solution est .

Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.