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Exo Maths X MP #43 - Solution carré-intégrable d'une équation différentielle


Published
Revised
January 5, 2021
6 months ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit  et  continue telle que . Discuter de l'existence et de l'unicité de  dérivable telle que  et .

Merci au polytechnicien qui a souhaité rester anonyme d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Saad Souilmi (MP, Moulay Abdellah) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

D'après la méthode de la variation de la constante, les solutions de l'équation différentielle  sont les fonctions :



Étape 1 : Unicité. Soit  une solution de l'équation différentielle  et supposons que  de carré intégrable.

Si ,  car . Ainsi :



 et  étant de carré intégrable,  est donc aussi de carré intégrable.

Si ,  car . Ainsi :



Donc  est intégrable sur . Or, . Donc  admet des limites en  et . Or,  est intégrable sur . Donc  et donc :



C'est-à-dire que  est fini et :



D'où nécessairement :



Étape 2 : Existence. Soit .

Comme ,  est intégrable sur . Donc  est bien définie sur  et de classe . On vérifie facilement que . Montrons que  est de carré intégrable sur .



D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz sur  et  :



Or . Donc :



Soit . En faisant une intégration par partie :



Par décroissance de  sur  :



Donc :



Donc  est intégrable sur .

Soit . De même :



Donc  est intégrable sur .


Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.