Infinité des nombres premiers et démonstration

Démonstration rédigée par Manuel, un prof particulier de maths passionné et expérimenté, qui pourra vous aider à faire face à la MPSI.

Nombre premier. Un nombre premier $p$ est un nombre entier naturel, supérieur ou égal à 2, seulement divisible par 1 et par lui-même.

Une question naturelle se pose : combien y a-t-il de nombres premiers? La première démonstration en réponse à cette question remonte à Euclide.

Théorème d'Euclide. Il existe une infinité de nombres premiers.

Démonstration

On va raisonner par l'absurde. On suppose qu'il existe une quantité finie $n$ de nombres premiers. Tous les nombres premiers peuvent ainsi être listés comme suit : $\{p_1,p_2,p_3,...,p_n\}.$

Soit $N$ le nombre entier naturel donné par $N=p_1\times p_2\times p_3\times ....\times p_n+1$.

Comme tout entier admet un diviseur premier, $N$ admet un diviseur premier $p$. Or, la liste de tous les nombres premiers étant $\{p_1,p_2,p_3,...,p_n\}$, $p$ est forcément l'un d'eux. Donc $p$ divise le produit $p_1\times p_2\times ...\times p_n$.

Mais $p$ divise aussi $N$, donc $p$ divise $N-p_1\times p_2\times ...p_n=1$, donc $p=1$, ce qui est absurde, car $1$ n'est pas un nombre premier.

Ainsi, l'hypothèse faite au début de la démonstration est fausse. Il ne peut pas y avoir une quantité finie de nombres premiers. Autrement dit, la quantité de nombres premiers est infinie.