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Infinité des nombres premiers et démonstration


Published
Revised
September 9, 2020
1 month ago

Démonstration rédigée par Manuel, un prof particulier de maths passionné et expérimenté, qui pourra vous aider à faire face à la MPSI.

Nombre premier. Un nombre premier  est un nombre entier naturel, supérieur ou égal à 2, seulement divisible par 1 et par lui-même.

Une question naturelle se pose : combien y a-t-il de nombres premiers? La première démonstration en réponse à cette question remonte à Euclide.

Théorème d'Euclide. Il existe une infinité de nombres premiers.

Démonstration

On va raisonner par l'absurde. On suppose qu'il existe une quantité finie  de nombres premiers. Tous les nombres premiers peuvent ainsi être listés comme suit : 

Soit  le nombre entier naturel donné par .

Comme tout entier admet un diviseur premier,  admet un diviseur premier . Or, la liste de tous les nombres premiers étant ,  est forcément l'un d'eux. Donc  divise le produit .

Mais  divise aussi , donc  divise , donc , ce qui est absurde, car  n'est pas un nombre premier.

Ainsi, l'hypothèse faite au début de la démonstration est fausse. Il ne peut pas y avoir une quantité finie de nombres premiers. Autrement dit, la quantité de nombres premiers est infinie.


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