Exo Maths X MP #42 - Solution C^2 d'une équation différentielle

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Montrer qu'il n'existe pas de fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ et de classe ${\mathcal{C}}^2$ telle que :

Merci à Ismail Labiad d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Jean Wallard (MP*, Louis-le-Grand) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

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Raisonnons par l'absurde. Supposons qu'une telle fonction $f$ existe. Pour tout $x\in \mathbb{R}$ :

Donc $f^{\prime }$ est décroissante. Elle admet donc en $-\infty$ une limite $a\in \mathbb{R}\cup \{+\infty \}$ et en $+\infty$ une limite $b\in \mathbb{R}\cup \{-\infty \}$. Forcément, $a\ne 0$ ou $b\ne 0$ car sinon $f^{\prime }=0$, donc $f^{\prime \prime }=0$, donc $0=1$.

En remarquant que $g:x\mapsto f(-x)$ est aussi une solution ${\mathcal{C}}^2$ de l'équation différentielle, on peut supposer $b\ne 0$ sans perdre en généralité, quitte à remplacer $f$ par $g$.

Cas $b\in {\mathbb{R}}^{\ast }$. $f^{\prime }(x)\underset{+\infty }{\sim }b$. Comme $x\mapsto b$ est non intégrable strictement négative ou strictement positive :

Donc :

Donc :

Comme $x\mapsto -b^{4}x$ est non intégrale strictement négative sur ${\mathbb{R}}^{+}$ :

On aboutit à une absurdité puisque $b\underset{+\infty }{\nsim }-\frac{b^4}{2}{x}^2$.

Cas $b=-\infty$. $f^{\prime }(x)<-1$ pour $x\ge x_0$ assez grand. Donc :

Donc :

Donc :

Donc :

Donc $g:x\mapsto -\frac{f^{\prime \prime }(x)}{(f^{\prime }(x){)}^2}$ n'est pas intégrable car $x\mapsto x$ est une fonction positive non intégrable.

On aboutit à une absurdité puisque $g:x\mapsto -\frac{f^{\prime \prime }(x)}{(f^{\prime }(x){)}^2}$ est la dérivée de $\frac{1}{f^{\prime }}$, fonction qui tend vers $0$ en $+\infty$. $g$ devrait donc être intégrable.