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Exo Maths X MP #42 - Solution C^2 d'une équation différentielle


Published
Revised
January 1, 2021
3 months ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Montrer qu'il n'existe pas de fonction  définie sur  et de classe  telle que :



Merci à Ismail Labiad d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Jean Wallard (MP*, Louis-le-Grand) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Raisonnons par l'absurde. Supposons qu'une telle fonction  existe. Pour tout  :



Donc  est décroissante. Elle admet donc en  une limite  et en  une limite . Forcément,  ou  car sinon , donc , donc .

En remarquant que  est aussi une solution  de l'équation différentielle, on peut supposer  sans perdre en généralité, quitte à remplacer  par .

Cas . . Comme  est non intégrable strictement négative ou strictement positive :



Donc :



Donc :



Comme  est non intégrale strictement négative sur  :



On aboutit à une absurdité puisque .

Cas .  pour  assez grand. Donc :



Donc :



Donc :



Donc :



Donc  n'est pas intégrable car  est une fonction positive non intégrable.

On aboutit à une absurdité puisque  est la dérivée de , fonction qui tend vers  en .  devrait donc être intégrable.


Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.