Exo Maths X MP #68 - Convergence de suite

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit $(u_n)$ une suite réelle bornée telle que $u_{n+1}-u_n^2\underset{n\to +\infty }{\to }0$. Montrer que $(u_n)$ converge et donner les limites possibles.

Merci à Khalil Sbai d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Enguerrand Moulinier (MP*, Marcelin-Berthelot) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

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Montrons que $(u_n)$ converge et déterminons ses limites possibles. Notons $A$ l'ensemble des valeurs d'adhérence de $(u_n)$.

Étape 1 : $A\subseteq {\mathbb{R}}_{+}$

Soit $l\in A$ une valeur d'adhérence. Il existe une suite extraite $(u_{\varphi (n)})$ qui converge vers $l$. Puisque $u_{\varphi (n)}-u_{\varphi (n)-1}^2\underset{n\to \infty }{\to }0$, on a que $u_{\varphi (n)-1}^2\underset{n\to \infty }{\to }l$. Puisque $u_{\varphi (n)-1}^2\ge 0$ pour tout $n$, on en déduit que $l\ge 0.$

Étape 2 : Si $l\in A$ alors $l^2\in A$ et $\sqrt{l}\in A$

Soit $l\in A$ une valeur d'adhérence. Il existe une suite extraite $(u_{\varphi (n)})$ qui converge vers $l$. Puisque $u_{\varphi (n)+1}-u_{\varphi (n)}^2\underset{n\to \infty }{\to }0$, on a que $u_{\varphi (n)+1}\underset{n\to \infty }{\to }{l}^2$. Donc $l^2\in A$.

De même, $u_{\varphi (n)}-u_{\varphi (n)-1}^2\underset{n\to \infty }{\to }0$ implique que $u_{\varphi (n)-1}^2\underset{n\to \infty }{\to }l$. Comme $(u_{\varphi (n)-1})$ est bornée, d'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, elle admet au moins une valeur d'adhérence qui vaut $\sqrt{l}$ ou $-\sqrt{l}$. Or $-\sqrt{l}$ n'est pas valeur d'adhérence d'après l'étape 1. On en déduit que $\sqrt{l}\in A$.

En répétant les deux raisonnements ci-dessus on obtient plus généralement que $l^{2^k}$ et $l^{\frac{1}{2^k}}$ sont des valeurs d'adhérence de la suite $(u_n).$

Étape 3 : $A\subset [0,1]$

Supposons que $l>1$ soit une valeur d'adhérence de la suite $(u_n)$. Par l'étape précédente, $l^{2^k}$est également valeur d'adhérence pour tout entier $k$. Or $l^{2^k}\to +\infty$. $(u_n)$ étant bornée, elle aurait donc une valeur d'adhérence en dehors de ses bornes, ce qui est absurde. Donc $l\le 1$.

En combinant ce résultat à celui de l'étape 1, on a :

Étape 4 : $A$ ne peut pas contenir $0$ et $1$ à la fois.

Supposons que la suite $(u_n)$ ait $0$ et $1$ pour valeurs d'adhérence.

Soit $n_0$ un entier suffisamment grand tel que $\forall n\ge n_0,|u_{n+1}-u_n^2|\le \frac{1}{4}$.

Puisque $0$ est valeur d'adhérence, il existe un $n_1\ge n_0$ tel que $|u_{n_1}|\le \frac{1}{2}$. Par inégalité triangulaire, $|u_{n_1+1}|\le |u_{n_1}{|}^2+\frac{1}{4}\le \frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$. Par récurrence immédiate, on obtient que $|u_n|\le \frac{1}{2}$ pour tout $n\ge n_1$.

Cela contredit le fait que $1$ soit valeur d'adhérence de la suite. $(u_n).$

Étape 5 : $A$ ne peut que contenir $0$ ou $1$.

Supposons par contradiction que la suite $(u_n)$ ait une valeur d'adhérence $0<l<1.$ Par l'étape 2, $l^{2^k}$ et $l^{\frac{1}{2^k}}$ sont également des valeurs d'adhérence pour tout entier $k$. Or $l^{2^k}\to 0$ et $l^{\frac{1}{2^k}}\to 1$. D'après le lemme ci-dessous, l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite est fermé, et donc $0$ et $1$ sont également des valeurs d'adhérence, ce qui contredit l'étape 4.

Lemme. Si $(v_n)$ a parmi ses valeurs d'adhérence une suite $(l_k)$ qui converge vers $l\in \mathbb{R}$, alors $l$ est lui-même une valeur d'adhérence.

Preuve : Si ce n'était pas le cas, il existerait un petit intervalle $]l-\epsilon ;l+\epsilon [$ ne contenant un nombre fini de termes de la suite $(v_n)$. Or ceci est impossible car $l_k\to l$ implique que des valeurs d'adhérences de la suite ($v_n$) appartiennent à $]l-ϵ;l+ϵ[$, et donc qu'une infinité de termes de la suite y appartient également.

Étape 6 : $A=\{0\}$ ou $A=\{1\}$

Puisque $(u_n)$ est bornée, elle admet au moins une valeur d'adhérence par le théorème de Bolzano-Weierstrass. Autrement dit $A\ne \varnothing$. D'après les étapes 4 et 5, on en déduit donc que $(u_n)$ a une unique valeur d'adhérence égale à $0$ ou à $1$.

Étape 7 : $(u_n)$ converge vers $0$ ou vers $1$

D'après le lemme ci-dessous, une suite réelle bornée admettant une unique valeur d'adhérence $l$ converge vers $l$, et donc $(u_n)$ converge vers $0$ ou $1$.

Lemme. Si $(v_n)$ une suite réelle bornée admettant une unique valeur d'adhérence $l$, alors $(v_n)$ converge vers $l$.

Preuve: Supposons que $(v_n)$ ne converge pas vers $l$. Alors :

Autrement dit, on peut extraire une sous-suite $(v_{\varphi (n)})$ telle que $|v_{\varphi (n)}-l|>\epsilon$ pour tout $n$. $(v_{\varphi (n)})$ étant bornée, d'après Bolzano-Weierstrass, elle a une valeur d'adhérence $l^{\prime }$ et celle-ci vérifie $|l^{\prime }-l|\ge \epsilon$. En particulier $l^{\prime }$ est une valeur d'adhérence de $(v_n)$ distincte de $l$, ce qui est impossible par hypothèse.