Welcome on Share!
Discover

shared contents

Subscribe

to sources that interest you

Share

your own contents

By using Miple's services, you agree to our Privacy policy.

Exo Maths X MP #68 - Convergence de suite


Published
Revised
June 23, 2021
3 months ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit  une suite réelle bornée telle que . Montrer que  converge et donner les limites possibles.

Merci à Khalil Sbai d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Enguerrand Moulinier (MP*, Marcelin-Berthelot) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Montrons que  converge et déterminons ses limites possibles. Notons  l'ensemble des valeurs d'adhérence de .

Étape 1 : 

Soit  une valeur d'adhérence. Il existe une suite extraite  qui converge vers . Puisque , on a que . Puisque  pour tout , on en déduit que 

Étape 2 : Si  alors  et 

Soit  une valeur d'adhérence. Il existe une suite extraite  qui converge vers . Puisque , on a que . Donc .

De même,  implique que . Comme  est bornée, d'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, elle admet au moins une valeur d'adhérence qui vaut  ou . Or  n'est pas valeur d'adhérence d'après l'étape 1. On en déduit que .

En répétant les deux raisonnements ci-dessus on obtient plus généralement que  et  sont des valeurs d'adhérence de la suite 

Étape 3 : 

Supposons que  soit une valeur d'adhérence de la suite . Par l'étape précédente, est également valeur d'adhérence pour tout entier . Or .  étant bornée, elle aurait donc une valeur d'adhérence en dehors de ses bornes, ce qui est absurde. Donc .

En combinant ce résultat à celui de l'étape 1, on a :



Étape 4 :  ne peut pas contenir  et  à la fois.

Supposons que la suite  ait  et  pour valeurs d'adhérence.

Soit  un entier suffisamment grand tel que .

Puisque  est valeur d'adhérence, il existe un  tel que . Par inégalité triangulaire, . Par récurrence immédiate, on obtient que  pour tout .

Cela contredit le fait que  soit valeur d'adhérence de la suite. 

Étape 5 :  ne peut que contenir  ou .

Supposons par contradiction que la suite  ait une valeur d'adhérence  Par l'étape 2,  et  sont également des valeurs d'adhérence pour tout entier . Or  et . D'après le lemme ci-dessous, l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite est fermé, et donc  et  sont également des valeurs d'adhérence, ce qui contredit l'étape 4.

Lemme. Si  a parmi ses valeurs d'adhérence une suite  qui converge vers , alors  est lui-même une valeur d'adhérence.

Preuve : Si ce n'était pas le cas, il existerait un petit intervalle  ne contenant un nombre fini de termes de la suite . Or ceci est impossible car  implique que des valeurs d'adhérences de la suite () appartiennent à , et donc qu'une infinité de termes de la suite y appartient également.

Étape 6 :  ou 

Puisque  est bornée, elle admet au moins une valeur d'adhérence par le théorème de Bolzano-Weierstrass. Autrement dit . D'après les étapes 4 et 5, on en déduit donc que  a une unique valeur d'adhérence égale à  ou à .

Étape 7 :  converge vers  ou vers 

D'après le lemme ci-dessous, une suite réelle bornée admettant une unique valeur d'adhérence  converge vers , et donc  converge vers  ou .

Lemme. Si  une suite réelle bornée admettant une unique valeur d'adhérence , alors  converge vers .

Preuve: Supposons que  ne converge pas vers . Alors :



Autrement dit, on peut extraire une sous-suite  telle que  pour tout .  étant bornée, d'après Bolzano-Weierstrass, elle a une valeur d'adhérence  et celle-ci vérifie . En particulier  est une valeur d'adhérence de  distincte de , ce qui est impossible par hypothèse.


Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.