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Les sous-groupes de Z et démonstration


Published
Revised
September 10, 2020
1 month ago

Démonstration rédigée par Rodolphe, professeur particulier pour élèves en MPSI.

Théorème. Les sous-groupes de  sont les  avec .

Démonstration

Lemme. Soit  un groupe. Si , alors .

Ce lemme se montre d'abord pour  par récurrence, puis se déduit pour  en invoquant la stabilité de  par passage à l'inverse.

Les  sont des sous-groupes de 

Soit . En utilisant la caractérisation des sous-groupes, montrons que  est un sous-groupe de  :

  •  n'est pas vide puisqu'il contient .
  • Soit . Par définition, ,  et . Donc .

Les sous-groupes de  sont des 

Soit  un sous groupe de . Montrons que .

Cas . Par définition, . Donc  avec .

Cas .  contient au moins un élément différent de . Soit  un tel élément.

Comme  est un groupe, l'inverse de  est dans , i.e. . Par conséquent,  contient au moins un élément strictement positif ( ou ). Autrement dit,  est une partie non vide de . Elle admet donc un plus petit élément que nous noterons . Montrons que  par double inclusion.

. Par construction, . D'après le lemme, , ce qui revient à dire que .

. Soit . Effectuons la division euclidienne de  par  :



Comme , d'après le lemme, , et . De plus, par construction , donc .

Or, par construction, , et par hypothèse,  est le plus petit élément non nul de , donc , donc , donc , donc .

. Nous venons de montrer que  et , donc .


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