Démonstration rédigée par Rodolphe, professeur particulier pour élèves en MPSI.
Théorème. Les sous-groupes de sont les avec .
Lemme. Soit un groupe. Si , alors .
Ce lemme se montre d'abord pour par récurrence, puis se déduit pour en invoquant la stabilité de par passage à l'inverse.
Soit . En utilisant la caractérisation des sous-groupes, montrons que est un sous-groupe de :
Soit un sous groupe de . Montrons que .
Cas . Par définition, . Donc avec .
Cas . contient au moins un élément différent de . Soit un tel élément.
Comme est un groupe, l'inverse de est dans , i.e. . Par conséquent, contient au moins un élément strictement positif ( ou ). Autrement dit, est une partie non vide de . Elle admet donc un plus petit élément que nous noterons . Montrons que par double inclusion.
. Par construction, . D'après le lemme, , ce qui revient à dire que .
. Soit . Effectuons la division euclidienne de par :
Comme , d'après le lemme, , et . De plus, par construction , donc .
Or, par construction, , et par hypothèse, est le plus petit élément non nul de , donc , donc , donc , donc .
. Nous venons de montrer que et , donc .
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