Les sous-groupes de Z et démonstration

Démonstration rédigée par Rodolphe, professeur particulier pour élèves en MPSI.

Théorème. Les sous-groupes de $(\mathbb{Z},+)$ sont les $(d\mathbb{Z},+)$ avec $d\in \mathbb{N}$.

Démonstration

Lemme. Soit $(G,+)$ un groupe. Si $g\in G$, alors $\forall k\in \mathbb{Z},kg\in G$.

Ce lemme se montre d'abord pour $k\in \mathbb{N}$ par récurrence, puis se déduit pour $k\in \mathbb{Z}$ en invoquant la stabilité de $G$ par passage à l'inverse.

Les $(d\mathbb{Z},+)$ sont des sous-groupes de $(\mathbb{Z},+)$

Soit $d\in \mathbb{N}$. En utilisant la caractérisation des sous-groupes, montrons que $(d\mathbb{Z},+)$ est un sous-groupe de $(\mathbb{Z},+)$ :

• $d\mathbb{Z}$ n'est pas vide puisqu'il contient $0$.
• Soit $(x_1,x_2)\in (b\mathbb{Z}{)}^2$. Par définition, $\exists (k_1,k_2)\in {\mathbb{Z}}^2$, $x_1=d{k}_1$ et $x_2=d{k}_2$. Donc $x_1-x_2=d(k_1-k_2)\in d\mathbb{Z}$.

Les sous-groupes de $(\mathbb{Z},+)$ sont des $(d\mathbb{Z},+)$

Soit $(G,+)$ un sous groupe de $(\mathbb{Z},+)$. Montrons que $\exists d\in \mathbb{N},G=d\mathbb{Z}$.

Cas $G=\{0\}$. Par définition, $0\mathbb{Z}=\{0\}$. Donc $G=d\mathbb{Z}$ avec $d=0$.

Cas $G\ne \{0\}$. $G$ contient au moins un élément différent de $0$. Soit $g$ un tel élément.

Comme $(G;+)$ est un groupe, l'inverse de $g$ est dans $G$, i.e. $-g\in G$. Par conséquent, $G$ contient au moins un élément strictement positif ($g$ ou $-g$). Autrement dit, $G\cap {\mathbb{N}}^{\ast }$ est une partie non vide de $\mathbb{N}$. Elle admet donc un plus petit élément que nous noterons $d$. Montrons que $G=d\mathbb{Z}$ par double inclusion.

$d\mathbb{Z}\subset G$. Par construction, $d\in G$. D'après le lemme, $\forall k\in \mathbb{Z},dk\in G$, ce qui revient à dire que $d\mathbb{Z}\subset G$.

$G\subset d\mathbb{Z}$. Soit $a\in G$. Effectuons la division euclidienne de $a$ par $d$ :

Comme $d\in G$, d'après le lemme, $qd\in G$, et $a-qd=r\in G$. De plus, par construction $r\ge 0$, donc $r\in G\cap \mathbb{N}$.

Or, par construction, $r<d$, et par hypothèse, $d$ est le plus petit élément non nul de $G\cap \mathbb{N}$, donc $r=0$, donc $a=qd$, donc $a\in d\mathbb{Z}$, donc $G\subset d\mathbb{Z}$.

$G=d\mathbb{Z}$. Nous venons de montrer que $d\mathbb{Z}\subset G$ et $G\subset d\mathbb{Z}$, donc $G=d\mathbb{Z}$.