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Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.
Soit un entier supérieur à et des variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur . Calculer la probabilité que soient alignés.
Merci à Thomas Leplumey d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.
Bravo à Killian LeMilbeau (MP, Chateaubriand) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !
Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.
Quitte à translater nos variables du vecteur , on peut remplacer sans perte de généralités l'ensemble des positions possibles par . Remarquons que .
L'univers associé au tirage de et est alors , et chacun des tirages est équiprobable au sein d'un ensemble fini de tirages possibles : .
Si correspond au nombre de tirages tels que et soient alignés, alors :
Le problème se réduit donc à déterminer . Or, , où désigne le nombre de tirages tels que et soient alignés et exactement des variables soient confondues. Le problème se réduit donc à déterminer , et .
Une variable peut prendre positions. Si les 3 variables sont confondues :
Il y a choix possibles pour la variable distincte des deux autres: ou . Puis il y a positions possibles pour cette variable et positions restantes pour les deux variables confondues:
Dire que les 3 variables sont alignées et distinctes équivaut à dire que l'un des variables s'écrit comme combinaison convexe stricte des deux autres.
Il y a choix possibles de variable s'écrivant comme combinaison convexe stricte des deux autres, et l'on supposera qu'il s'agit de dans ce qui suit :
Soit tel que les coordonnées et diffèrent. Supposons sans perdre en généralité que . On a . Cela implique donc , , et .
Ainsi, combinaison convexe stricte de et équivaut à :
Puisque et sont distinctes, il existe un nombre de coordonnées de qui diffèrent de celles de , et pour celles-ci, . Il y a choix possibles de telles coordonnées.
D'où le nombre total de tirages tels que et sont alignés et distincts:
Exos Maths X MP
Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.