Exo Maths X MP #65 - Alignement de variables aléatoires

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit $d$ un entier supérieur à $3$ et $X_1,X_2,X_3$ des variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur $\{0,1,2{\}}^d$. Calculer la probabilité que $X_1,X_2,X_3$ soient alignés.

Merci à Thomas Leplumey d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Killian LeMilbeau (MP, Chateaubriand) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

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Quitte à translater nos variables du vecteur $(-1,\dots ,-1)\in {\mathbb{R}}^d$, on peut remplacer sans perte de généralités l'ensemble des positions possibles $E=\{0,1,2{\}}^d$ par $E=\{-1,0,1{\}}^d$. Remarquons que $\text{Card}(E)=3^d$.

L'univers $\Omega$ associé au tirage de $X_1,X_2$ et $X_3$ est alors $\Omega =E^3$, et chacun des tirages est équiprobable au sein d'un ensemble fini de tirages possibles : $\text{Card}(\Omega )=3^{3d}$.

Si $A$ correspond au nombre de tirages tels que $X_1,X_2$ et $X_3$ soient alignés, alors :

Le problème se réduit donc à déterminer $A$. Or, $A=A_1+A_2+A_3$, où $A_k$ désigne le nombre de tirages tels que $X_1,X_2$ et $X_3$ soient alignés et exactement $k$ des $3$ variables soient confondues. Le problème se réduit donc à déterminer $A_1$, $A_2$ et $A_3$.

Cas 1 : Les trois variables sont confondues

Une variable peut prendre $3^d$ positions. Si les 3 variables sont confondues :

Cas 2 : Deux des trois variables sont confondues

Il y a $3$ choix possibles pour la variable distincte des deux autres: $X_1,X_2$ ou $X_3$. Puis il y a $3^d$ positions possibles pour cette variable et $3^d-1$ positions restantes pour les deux variables confondues:

Cas 3 : Les trois variables sont distinctes

Dire que les 3 variables sont alignées et distinctes équivaut à dire que l'un des variables s'écrit comme combinaison convexe stricte des deux autres.

Il y a $3$ choix possibles de variable s'écrivant comme combinaison convexe stricte des deux autres, et l'on supposera qu'il s'agit de $X_1$ dans ce qui suit :

Soit $i\in [[1,d]]$ tel que les coordonnées $X_{2,i}$ et $X_{3,i}$ diffèrent. Supposons sans perdre en généralité que $X_{2,i}<X_{3,i}$. On a $X_{1,i}\in ]]X_{2,i},X_{3,i}[[$. Cela implique donc $X_{1,i}=0$, $X_{2,i}=-1$, $X_{3,i}=1$ et $\lambda =\frac{1}{2}$.

Ainsi, $X_1$ combinaison convexe stricte de $X_2$ et $X_3$ équivaut à :

Puisque $X_2$ et $X_3$ sont distinctes, il existe un nombre $p\in [[1,d]]$ de coordonnées de $X_{2,i}$ qui diffèrent de celles de $X_{3,i}$, et pour celles-ci, $X_{2,i}=-X_{3,i}$. Il y a $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{d}{p}\right)$ choix possibles de telles coordonnées.

• Pour chacune de ces $p$ coordonnées, on peut choisir $X_{2,i}$ dans $\{-1,1\}$. Ainsi il y a $2^p$ choix possibles pour fixer l'ensemble de ces coordonnées.
• Pour les $d-p$ coordonnées restantes on peut choisir $X_{2,i}$ dans $\{-1,0,1\}$, et les trois coordonnées $X_{1,i},X_{2,i}$ et $X_{3,i}$ sont alors égales. Ainsi il y a $3^{d-p}$ choix possibles pour fixer l'ensemble de ces coordonnées.

D'où le nombre total de tirages tels que $X_1,X_2$ et $X_3$ sont alignés et distincts:

Conclusion