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Exo Maths X MP #65 - Alignement de variables aléatoires


Published
Revised
June 1, 2021
3 months ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit  un entier supérieur à  et  des variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur . Calculer la probabilité que  soient alignés.

Merci à Thomas Leplumey d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Killian LeMilbeau (MP, Chateaubriand) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Quitte à translater nos variables du vecteur , on peut remplacer sans perte de généralités l'ensemble des positions possibles  par . Remarquons que .

L'univers  associé au tirage de  et  est alors , et chacun des tirages est équiprobable au sein d'un ensemble fini de tirages possibles : .

Si  correspond au nombre de tirages tels que  et  soient alignés, alors :



Le problème se réduit donc à déterminer . Or, , où  désigne le nombre de tirages tels que  et  soient alignés et exactement  des  variables soient confondues. Le problème se réduit donc à déterminer ,  et .

Cas 1 : Les trois variables sont confondues

Une variable peut prendre  positions. Si les 3 variables sont confondues :



Cas 2 : Deux des trois variables sont confondues

Il y a  choix possibles pour la variable distincte des deux autres:  ou . Puis il y a  positions possibles pour cette variable et  positions restantes pour les deux variables confondues:



Cas 3 : Les trois variables sont distinctes

Dire que les 3 variables sont alignées et distinctes équivaut à dire que l'un des variables s'écrit comme combinaison convexe stricte des deux autres.

Il y a  choix possibles de variable s'écrivant comme combinaison convexe stricte des deux autres, et l'on supposera qu'il s'agit de  dans ce qui suit :



Soit  tel que les coordonnées  et  diffèrent. Supposons sans perdre en généralité que . On a . Cela implique donc , ,  et .

Ainsi,  combinaison convexe stricte de  et  équivaut à :



Puisque  et  sont distinctes, il existe un nombre  de coordonnées de  qui diffèrent de celles de , et pour celles-ci, . Il y a  choix possibles de telles coordonnées.

  • Pour chacune de ces  coordonnées, on peut choisir  dans . Ainsi il y a  choix possibles pour fixer l'ensemble de ces coordonnées.
  • Pour les  coordonnées restantes on peut choisir  dans , et les trois coordonnées  et  sont alors égales. Ainsi il y a  choix possibles pour fixer l'ensemble de ces coordonnées.

D'où le nombre total de tirages tels que  et  sont alignés et distincts:



Conclusion



Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.