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Exo Maths X MP #71 - Espérance limite


Published
Revised
July 14, 2021
2 weeks ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit . Soit  variables aléatoires indépendantes et suivant une loi uniforme sur l'ensemble . On définit :



Calculer  et .

Merci à Hadir Taleb d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Dhia Garbaya (MPSI, Esprit Prépa) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

 est à valeurs entières. Ainsi  est d'espérance finie si et seulement si  converge, auquel cas on aura .

Étape 1 : Calcul de .

Commençons par calculer  pour .

Cas .



Puisque  est une suite croissante pour tout , alors  est une famille décroissante d'évènements et donc :



Calculons . Comme les variables aléatoires  sont indépendantes :



 Si on introduit , on remarque que :



Or,  peut être vu comme :

  • le nombre de façons de répartir  objets dans  boites à capacité infinie,
  • qui peut être vu comme le nombre de nombres ayant exactement  uns et  zéros. Les 1 représentant les  objets et les 0 les  séparateurs des  boites.
  • qui peut être vu comme le nombre d'emplacements possibles pour les  zéros parmis les  zéros et uns, et ce nombre est .

 Ainsi :



On remarque que :



Comme  pour , on en déduit que  et donc .

Cas .



puisque pour tout ,  est une suite croissante. Ainsi :



Étape 2 : Calcul de .

On remarque que :



D'après la règle de d'Alembert, la série de terme général positif  converge.

On en déduit que  admet une espérance et que :



Etape 3 : Calcul de .

Posons, pour tout  et  :



Avec ces notations :



On remarque que :



Or :



Donc :



Montrons maintenant que :



Pour ce faire, montrons que la famille de fonctions  vérifie les conditions du théorème de la double limite.

Condition 1 : Convergence uniforme de . On a :



Ainsi :



Donc  est décroissante et . Dans l'étape 2, nous avons montré que  converge. Donc  converge normalement et donc uniformément.

Condition 2 :  converge pour tout . D'après les calculs faits au début de l'étape 3 :



Conclusion. On peut donc appliquer le théorème de la double limite et ainsi :



Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.