Dérivée d'une somme de fonctions et démonstration

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Revised

June 19, 2020

4 months ago

La dérivée d'une somme de fonctions fait partie des formules qu'un élève de prépa MPSI/MP se doit de connaître par coeur.

Dérivée d'une somme de fonctions. Si $f$ et $g$ sont deux fonctions réelles dérivables en $a$ , alors $f + g$ est dérivable en $a$ et :

(f + g)^{'} (a) = f^{'} (a) + g^{'} (a)

Démonstration

Pour montrer que $f + g$ est dérivable en $a$ , il nous faut étudier la limite du taux d'accroissement de $f + g$ en $a$ :

\frac{( f + g ) ( x ) - ( f + g ) ( a )}{x - a} = \frac{f ( x ) - f ( a ) + g ( x ) - g ( a )}{x - a}

$f$ étant dérivable en $a$ :

x \to a lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} = f^{'} (a)

$g$ étant dérivable en $a$ :

x \to a lim \frac{g ( x ) - g ( a )}{x - a} = g^{'} (a)

En sommant les limites :

x \to a lim \frac{f ( x ) - f ( a ) + g ( x ) - g ( a )}{x - a} = f^{'} (a) + g^{'} (a)

Nous pouvons donc conclure :

x \to a lim \frac{( f + g ) ( x ) - ( f + g ) ( a )}{x - a} = f^{'} (a) + g^{'} (a)

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