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Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2016.
Soient variables aléatoires indépendantes suivant une même loi de Poisson de paramètre . On pose .
1. Calculer pour , .
2. Soit . Montrer qu'il existe ne dépendant que de et , tels que :
3. Soit . Montrer qu'il existe ne dépendant que de et , tels que :
Merci à Romain Panis d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.
Bravo à Morad Laglil (MP*, Ibn Ghazi) et Hugo Carreaud (MP*, Joffre) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à eux d'avoir rédigé leur correction !
Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.
Soit une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre . admet un moment d'ordre 1 et . Soit . Comme la série de terme général est absolument convergente, admet un moment d'ordre 1 et .
Soit variables aléatoires indépendantes suivant une même loi de Poisson de paramètre et . Par le lemme des coalitions, sont mutuellement indépendantes et :
Soit . Par stricte croissance de :
D'après l'inégalité de Markov :
En posant :
Comme , dérivable sur et , on en déduit qu'il existe tel que et ne dépend que de et . En posant et :
D'après la question 2, . Majorons :
D'après l'inégalité de Markov :
En posant :
Comme , dérivable sur et , on en déduit qu'il existe tel que et ne dépend que de et . En posant et :
En posant et :
Exos Maths X MP
Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.