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Exo Maths X MP #62 - Loi de Poisson


Published
Revised
May 11, 2021
3 weeks ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2016.

Soient   variables aléatoires indépendantes suivant une même loi de Poisson de paramètre . On pose .

1. Calculer pour , .

2. Soit . Montrer qu'il existe  ne dépendant que de  et , tels que :



3. Soit . Montrer qu'il existe  ne dépendant que de  et , tels que :



Merci à Romain Panis d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Morad Laglil (MP*, Ibn Ghazi) et Hugo Carreaud (MP*, Joffre) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à eux d'avoir rédigé leur correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Question 1

Soit  une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre .  admet un moment d'ordre 1 et . Soit . Comme la série de terme général  est absolument convergente,  admet un moment d'ordre 1 et .

Soit   variables aléatoires indépendantes suivant une même loi de Poisson de paramètre  et . Par le lemme des coalitions,  sont mutuellement indépendantes et :



Question 2

Soit . Par stricte croissance de  :



D'après l'inégalité de Markov :



En posant  :



Comme ,  dérivable sur  et , on en déduit qu'il existe  tel que  et  ne dépend que de  et . En posant  et  :



Question 3



D'après la question 2, . Majorons  :



D'après l'inégalité de Markov :



En posant  :



Comme ,  dérivable sur  et , on en déduit qu'il existe  tel que  et  ne dépend que de  et . En posant  et  :



En posant  et  :



Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.