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Exo Maths X MP #67 - Convergence de série


Published
Revised
June 15, 2021
4 months ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit  une suite réelle telle que, pour toute suite réelle , si  converge, alors  converge. Montrer que  converge.

Merci à Thomas Leplumey d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Killian LeMilbeau (MP, Chateaubriand) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Soit une suite  telle que pour toute suite réelle , si  converge, alors  converge.

Pour montrer que  converge, on raisonne par contradiction: en supposant que  diverge, on construit une suite  telle que  converge mais  diverge. Pour cela on pose:



Remarque: On a préféré poser  plutôt que  pour s'assurer que  est bien défini.

Étape 1 :  converge.

Pour cela on remarque que:



et ainsi



Puisque les sommes partielles à termes positifs  sont majorées, on en déduit que  converge.

Étape 2 :  est bornée.

Montrons que  est une suite bornée, ce qui nous servira de résultat intermédiaire dans l'étape suivante.

Supposons par l'absurde le contraire. On peut extraire une sous-suite  telle que . On définit alors  comme suit :



Ainsi :



converge. En revanche, la série



diverge. Ceci contredit l'hypothèse de l'énoncé qui voudrait que  converge. Ainsi,  est une suite bornée.

Étape 3 :  diverge.

On remarque maintenant que  tend vers  quand  tend vers l'infini puisque  est borné d'après l'étape précédente et  diverge par hypothèse.

Dès lors, on peut utiliser l'équivalence  pour écrire:



Puisque les séries  et  ont des termes positifs et équivalents, elles sont de même nature. Or, par télescopage, )la série  a même nature que la suite , qui a même nature que la suite , qui, elle, diverge.

On en conclut donc que  diverge, et l'on aboutit ainsi à la contradiction désirée.


Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.