Exo Maths X MP #67 - Convergence de série

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit $(x_n)$ une suite réelle telle que, pour toute suite réelle $(y_n)$, si $\sum {y_n}^2$ converge, alors $\sum x_n{y}_n$ converge. Montrer que $\sum x_n^2$ converge.

Merci à Thomas Leplumey d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Killian LeMilbeau (MP, Chateaubriand) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Soit une suite $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ telle que pour toute suite réelle $(y_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$, si $\sum y_n^2$ converge, alors $\sum x_n{y}_n$ converge.

Pour montrer que $\sum x_n^2$ converge, on raisonne par contradiction: en supposant que $\sum x_n^2$ diverge, on construit une suite $(y_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ telle que $\sum y_n^2$ converge mais $\sum x_n{y}_n$ diverge. Pour cela on pose:

Remarque: On a préféré poser $S_n=1+{\sum }_{k=0}^n{x}_k^2$ plutôt que $S_n={\sum }_{k=0}^n{x}_k^2$ pour s'assurer que $y_n$ est bien défini.

Étape 1 : $\sum y_n^2$ converge.

Pour cela on remarque que:

et ainsi

Puisque les sommes partielles à termes positifs ${\sum }_{n=1}^N{y}_n^2$ sont majorées, on en déduit que $\sum y_n^2$ converge.

Étape 2 : $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est bornée.

Montrons que $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite bornée, ce qui nous servira de résultat intermédiaire dans l'étape suivante.

Supposons par l'absurde le contraire. On peut extraire une sous-suite $(x_{\phi (n)}{)}_{n\in \mathbb{N}}$ telle que $\forall n\in \mathbb{N},|x_{\phi (n)}|\ge 1$. On définit alors $(z_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ comme suit :

Ainsi :

converge. En revanche, la série

diverge. Ceci contredit l'hypothèse de l'énoncé qui voudrait que $\sum x_n{z}_n$ converge. Ainsi, $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite bornée.

Étape 3 : $\sum x_n{y}_n$ diverge.

On remarque maintenant que $x_n{y}_n=\frac{x_n^2}{S_n}\ge 0$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers l'infini puisque $x_n^2$ est borné d'après l'étape précédente et $S_n\ge {\sum }_{k=1}^n{x}_k^2$ diverge par hypothèse.

Dès lors, on peut utiliser l'équivalence $x{\sim }_0-\ln (1-x)$ pour écrire:

Puisque les séries $\sum x_n{y}_n$ et $\sum \ln (S_n)-\ln (S_{n-1})$ ont des termes positifs et équivalents, elles sont de même nature. Or, par télescopage, )la série $\sum \ln (S_n)-\ln (S_{n-1})$ a même nature que la suite $(\ln (S_n))$, qui a même nature que la suite $(S_n)$, qui, elle, diverge.

On en conclut donc que $\sum x_n{y}_n$ diverge, et l'on aboutit ainsi à la contradiction désirée.