Dérivée de la fonction réciproque

Publié

October 7, 2020

Cette démonstration a été rédigée avec soin par Manuel, prof particulier de maths. Si vous êtes en prépa et voulez réussir, vous pouvez demandez son aide ici 😉.

Soit $I$ et $J$ deux intervalles de $R$ .

Théorème. Soit $f$ une fonction réelle, bijective de $I$ sur $J$ et dérivable sur $I$ . Si $f^{'} (f^{- 1} (x)) \neq = 0$ pour $x \in J$ , alors $f^{- 1}$ est dérivable en $x$ et :

(f^{- 1})^{'} (x) = \frac{1}{f ^{'} ( f ^{- 1} ( x ) )}

Démonstration

Soit $y_{0} \in J$ tel que $f^{'} (f^{- 1} (y_{0})) \neq = 0$ . On cherche à montrer que le taux d'accroissement :

\frac{f ^{- 1} ( y ) - f ^{- 1} ( y _{0} )}{y - y _{0}}

a une limite quand $y$ tend vers $y_{0}$ , pour $y \neq = y_{0}$ , et à déterminer cette limite.

$f^{- 1}$ étant la bijection réciproque de $f$ :

\frac{f ^{- 1} ( y ) - f ^{- 1} ( y _{0} )}{y - y _{0}} = \frac{f ^{- 1} ( y ) - f ^{- 1} ( y _{0} )}{f ( f ^{- 1} ( y ) ) - f ( f ^{- 1} ( y _{0} ) )}

Comme (i) $f$ est dérivable en $x_{0} = f^{- 1} (y_{0})$ , (ii) $f^{'} (x_{0}) \neq = 0$ , et (iii) $f (x) \neq = f (x_{0})$ pour tout $x \in I$ par injectivité de $f$ , alors :

x \to x_{0} lim \frac{x - x _{0}}{f ( x ) - f ( x _{0} )} = \frac{1}{f ^{'} ( x _{0} )}

Comme $f$ est dérivable sur $I$ , $f$ est continue sur $I$ et donc $f^{- 1}$ l'est aussi (preuve). Ainsi, $f^{- 1} (y) = x$ tend vers $f^{- 1} (y_{0}) = x_{0}$ quand $y$ tend vers $y_{0}$ . Donc :

y \to y_{0} lim \frac{f ^{- 1} ( y ) - f ^{- 1} ( y _{0} )}{y - y _{0}} = y \to y_{0} lim \frac{f ^{- 1} ( y ) - f ^{- 1} ( y _{0} )}{f ( f ^{- 1} ( y ) ) - f ( f ^{- 1} ( y _{0} ) )} = x \to x_{0} lim \frac{x - x _{0}}{f ( x ) - f ( x _{0} )} = \frac{1}{f ^{'} ( x _{0} )} = \frac{1}{f ^{'} ( f ^{- 1} ( y _{0} ) )}

Ce qui prouve bien que si $y \in J$ et $f^{'} (f^{- 1} (y)) \neq = 0$ , alors $f^{- 1}$ est dérivable en $y$ et :

(f^{- 1})^{'} (y) = \frac{1}{f ^{'} ( f ^{- 1} ( y ) )}

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