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Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.
Soit une matrice symétrique réelle. On note ses valeurs propres et une base orthonormée de vecteurs propres associés.
1. Montrer que est diagonalisable et donner ses valeurs propres et vecteurs propres.
2. On définit la matrice obtenue en enlevant de la -ième ligne et -ième colonne. On note la -ième coordonnée du vecteur . Montrer que, pour tout :
Merci à Alexandre François d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.
Bravo à Saad Souilmi (MP, Moulay Abdellah) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !
Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.
Cas diagonal. Si , alors :
et la base canonique de est une base orthonormée de vecteurs de vecteurs propres de associés aux valeurs propres .
Cas général. On note et on a avec .
Pour tout , puisque :
On en déduit que :
Comme , . Donc :
Donc, pour tout :
On en conclut donc que est une base orthonormée de vecteurs propres de associés respectivement à .
On commence par remarquer que si une base orthonomorée de vecteurs propres de associée aux valeurs propres , alors pour tout :
et donc :
Soit . est une base orthonormée de vecteurs propres de associés respectivement aux valeurs propres .
D'après la question 1, est aussi une base orthonormée de vecteurs propres de associés respectivement aux valeurs propres .
D'après le résultat précédent :
Soit . En prenant la composante de cette matrice :
D'où :
Exos Maths X MP
Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.