Exo Maths X MP #51 - Valeurs propres d'une matrice et ses sous-matrices

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit $A$ une matrice symétrique réelle. On note ${\lambda }_1(A),...,{\lambda }_n(A)$ ses valeurs propres et $(V_1,...,V_n)$ une base orthonormée de vecteurs propres associés.

1. Montrer que $(\text{Com}A{)}^T$ est diagonalisable et donner ses valeurs propres et vecteurs propres.

2. On définit $A_i$ la matrice obtenue en enlevant de $A$ la $i$-ième ligne et $i$-ième colonne. On note $V_{ij}$ la $j$-ième coordonnée du vecteur $V_i$. Montrer que, pour tout $i,j\in [[1,n]]$ :

Merci à Alexandre François d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Saad Souilmi (MP, Moulay Abdellah) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

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Question 1

Cas diagonal. Si $A=\text{diag}({\lambda }_1(A),...,{\lambda }_n(A))$, alors :

et la base canonique $({\mathcal{E}}_i{)}_{i\in [[1,n]]}$ de $M_{n,1}(\mathbb{R})$ est une base orthonormée de vecteurs de vecteurs propres de $(\text{Com}A{)}^T$ associés aux valeurs propres ${\left({\prod }_{\underset{k\ne i}{k=1}}^n{\lambda }_k(A)\right)}_{i\in [[1,n]]}$.

Cas général. On note $P=[V_1,...,V_n]\in O_n(\mathbb{R})$ et on a $A=PD{P}^T$ avec $D=\text{diag}({\lambda }_1(A),...,{\lambda }_n(A))$.

Pour tout $M,N\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, $\text{ComMN}=(\text{ComM})(\text{ComN})$ puisque :

• Le résultat est vrai si $M,N$ sont inversibles : $(\text{Com}MN{)}^T=\det (MN)(MN{)}^{-1}=\det (N)N^{-1}\det (M)M^{-1}=(\text{Com}N{)}^T(\text{Com}M{)}^T=((\text{Com}M)(\text{Com}N){)}^T$
• Le résultat est vrai pour toutes matrices $M,N$ puisque les matrices inversibles sont denses dans les matrices et que $M\mapsto \text{Com}M$ est continue.

On en déduit que :

Comme $P\in O_n(\mathbb{R})$, $\det (P{)}^2=1$. Donc :

Donc, pour tout $i\in [[1,n]]$ :

On en conclut donc que $(V_i{)}_{i\in [[1,n]]}$ est une base orthonormée de vecteurs propres de $(\text{Com}A{)}^T$ associés respectivement à ${\left({\prod }_{\underset{k\ne i}{k=1}}^n{\lambda }_k(A)\right)}_{i\in [[1,n]]}$.

Question 2

On commence par remarquer que si $(W_i{)}_{i\in [[1,n]]}$ une base orthonomorée de vecteurs propres de $M$ associée aux valeurs propres $({\lambda }_i(M){)}_{i[[1,n]]}$, alors pour tout $i\in [[1,n]]$ :

et donc :

Soit $i\in [[1,n]]$. $(V_i{)}_{i\in [[1,n]]}$ est une base orthonormée de vecteurs propres de ${\lambda }_i(A)I_n-A$ associés respectivement aux valeurs propres $({\lambda }_i(A)-{\lambda }_k(A){)}_{k\in [[1,n]]}$.

D'après la question 1, $(V_i{)}_{i\in [[1,n]]}$ est aussi une base orthonormée de vecteurs propres de $(\text{Com}({\lambda }_i(A)I_n-A){)}^T$ associés respectivement aux valeurs propres ${\left({\prod }_{\underset{k\ne i}{k=1}}^n({\lambda }_i(A)-{\lambda }_k(A))\right)}_{i\in [[1,n]]}$.

D'après le résultat précédent :

Soit $j\in [[1,n]]$. En prenant la composante $jj$ de cette matrice :

D'où :