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Exo Maths X MP #51 - Valeurs propres d'une matrice et ses sous-matrices


Published
Revised
February 2, 2021
8 months ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit  une matrice symétrique réelle. On note  ses valeurs propres et  une base orthonormée de vecteurs propres associés.

1. Montrer que  est diagonalisable et donner ses valeurs propres et vecteurs propres.

2. On définit  la matrice obtenue en enlevant de  la -ième ligne et -ième colonne. On note  la -ième coordonnée du vecteur . Montrer que, pour tout  :



Merci à Alexandre François d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Saad Souilmi (MP, Moulay Abdellah) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Question 1

Cas diagonal. Si , alors :



et la base canonique  de  est une base orthonormée de vecteurs de vecteurs propres de  associés aux valeurs propres .

Cas général. On note  et on a  avec .

Pour tout ,  puisque :

  • Le résultat est vrai si  sont inversibles : 
  • Le résultat est vrai pour toutes matrices  puisque les matrices inversibles sont denses dans les matrices et que  est continue.

On en déduit que :



Comme , . Donc :



Donc, pour tout  :



On en conclut donc que  est une base orthonormée de vecteurs propres de  associés respectivement à .

Question 2

On commence par remarquer que si  une base orthonomorée de vecteurs propres de  associée aux valeurs propres , alors pour tout  :



et donc :



Soit .  est une base orthonormée de vecteurs propres de  associés respectivement aux valeurs propres .

D'après la question 1,  est aussi une base orthonormée de vecteurs propres de  associés respectivement aux valeurs propres .

D'après le résultat précédent :



Soit . En prenant la composante  de cette matrice :



D'où :



Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.