shared contents
to sources that interest you
your own contents
By using Miple's services, you agree to our Privacy policy.
Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.
Soit un groupe abélien fini. Calculer .
Merci à Guillaume Chilla d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.
Bravo à Enguerrand Moulinier (MP*, Marcelin Berthelot) et à Ayman Maaitat (MP*, Lydex) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à eux d'avoir rédigé leur correction !
Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.
Soit un groupe abélien fini. est un morphisme de car pour tous .
Soit . est un sous-groupe de car c'est le noyau d'un morphisme. est donc abélien fini.
En regroupant les éléments ayant un inverse différent de eux-mêmes (ce qui est possible car est abélien), on a .
Cas . donc .
Cas . donc .
Cas . Montrons que est isomorphe à .
L'ensemble des générateurs de est non vide (il contient et est fini (il est inclus dans fini), donc il existe une partie génératrice de finie de cardinal minimal. Soit une telle famille.
Puisque cette famille est minale et que les éléments de sont d'ordre 2, pour tout , il existe un unique k-uplet tel que . On peut donc définir l'application :
Montrons que est un morphisme de groupe, i.e. que pour tout , :
Si , alors les sont tous pairs, donc , donc est injectif. Comme , est aussi surjective. Donc est un isomorphisme. et sont isomorphes.
Enfin :
car . Ainsi, si , alors .
Exos Maths X MP
Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.