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Exo Maths X MP #14 - Produit des éléments d'un groupe abélien fini


Published
Revised
October 26, 2020
1 month ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit  un groupe abélien fini. Calculer .

Merci à Guillaume Chilla d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Enguerrand Moulinier (MP*, Marcelin Berthelot) et à Ayman Maaitat (MP*, Lydex) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à eux d'avoir rédigé leur correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Soit  un groupe abélien fini.  est un morphisme de  car  pour tous .

Soit .  est un sous-groupe de  car c'est le noyau d'un morphisme.  est donc abélien fini.

En regroupant les éléments ayant un inverse différent de eux-mêmes (ce qui est possible car  est abélien), on a .

Cas .  donc .

Cas .  donc .

Cas . Montrons que  est isomorphe à .

L'ensemble des générateurs de  est non vide (il contient  et est fini (il est inclus dans  fini), donc il existe une partie génératrice de  finie de cardinal minimal. Soit  une telle famille.

Puisque cette famille est minale et que les éléments de  sont d'ordre 2, pour tout , il existe un unique k-uplet  tel que . On peut donc définir l'application :



Montrons que  est un morphisme de groupe, i.e. que pour tout ,  :

  • Par construction, il existe 3 uniques k-uplets de  tels que ,  et .
  • Par définition,  et 
  • , donc . Par minimalité de la famille, , ..., , i.e. , ..., , i.e. .

Si , alors les  sont tous pairs, donc , donc  est injectif. Comme ,  est aussi surjective. Donc  est un isomorphisme.  et  sont isomorphes.

Enfin :



car . Ainsi, si , alors .


Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.