Exo Maths X MP #14 - Produit des éléments d'un groupe abélien fini

Exos Maths X MP

Published

Revised

October 26, 2020

3 years ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit $G$ un groupe abélien fini. Calculer $\prod_{g \in G} g$ .

Merci à Guillaume Chilla d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Enguerrand Moulinier (MP*, Marcelin Berthelot) et à Ayman Maaitat (MP*, Lydex) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à eux d'avoir rédigé leur correction !

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Soit $(G, *)$ un groupe abélien fini. $f : G x \to \mapsto G x^{2}$ est un morphisme de $G$ car $f (x y) = (x y)^{2} = x^{2} y^{2} = f (x) f (y)$ pour tous $x, y \in G$ .

Soit $H = Ker (f) = {g \in G ∣ g^{2} = e}$ . $H$ est un sous-groupe de $G$ car c'est le noyau d'un morphisme. $(H, *)$ est donc abélien fini.

En regroupant les éléments ayant un inverse différent de eux-mêmes (ce qui est possible car $G$ est abélien), on a $\prod_{g \in G} g = \prod_{g \in G ∣ g = g^{- 1}} g = \prod_{g \in H} g$ .

Cas $∣ H ∣ = 1$ . $H = {e}$ donc $\prod_{g \in H} g = e$ .

Cas $∣ H ∣ = 2$ . $H = {e, h}$ donc $\prod_{g \in H} g = h$ .

Cas $∣ H ∣ \geq 3$ . Montrons que $(H, *)$ est isomorphe à $((Z / 2 Z)^{k}, +)$ .

L'ensemble des générateurs de $H$ est non vide (il contient $H)$ et est fini (il est inclus dans $H$ fini), donc il existe une partie génératrice de $H$ finie de cardinal minimal. Soit $(x_{1}, . . ., x_{k})$ une telle famille.

Puisque cette famille est minale et que les éléments de $H$ sont d'ordre 2, pour tout $x \in H$ , il existe un unique k-uplet $(i_{1}, . . ., i_{k}) \in {0, 1}^{k}$ tel que $x = x_{1}^{i_{1}} . . . x_{k}^{i_{k}}$ . On peut donc définir l'application :

Φ : H x_{1}^{i_{1}} . . . x_{k}^{i_{k}} ⟶ ⟼ (Z / 2 Z)^{k} (i_{1}, . . ., i_{k})

Montrons que $Φ$ est un morphisme de groupe, i.e. que pour tout $g, h \in H$ , $Φ (g h) = Φ (g) Φ (h)$ :

Par construction, il existe 3 uniques k-uplets de ${0, 1}^{k}$ tels que $g = x_{1}^{i_{1}} x_{2}^{i_{2}} . . . x_{m}^{i_{m}}$ , $h = x_{1}^{j_{1}} x_{2}^{j_{2}} . . . x_{m}^{j_{m}}$ et $g h = x_{1}^{a_{1}} x_{2}^{a_{2}} . . . x_{k}^{a_{k}}$ .
Par définition, $Φ (g) Φ (h) = (\overline{i_{1} + j_{1}}, . . ., \overline{i_{k} + j_{k}})$ et $Φ (g h) = (\overline{a_{1}}, . . ., \overline{a_{k}}) .$
$g h = x_{1}^{i_{1} + j_{1}} . . . x_{k}^{i_{k} + j_{k}}$ , donc $x_{1}^{i_{1} + j_{1} - a_{1}} . . . x_{k}^{i_{k} + j_{k} - a_{k}} = e$ . Par minimalité de la famille, $i_{1} + j_{1} - a_{1} \equiv 0 [2]$ , ..., $i_{k} + j_{k} - a_{k} \equiv 0 [2]$ , i.e. $\overline{i_{1} + j_{1}} = \overline{a_{1}}$ , ..., $\overline{i_{k} + j_{k}} = \overline{a_{k}}$ , i.e. $Φ (g h) = Φ (g) Φ (h)$ .

Si $x_{1}^{j_{1}} . . . x_{k}^{j_{k}} \in Ker (Φ)$ , alors les $j_{1}, . . ., j_{k}$ sont tous pairs, donc $x_{1}^{j_{1}} . . . x_{k}^{j_{k}} = e$ , donc $Φ$ est injectif. Comme $Φ ({x_{1}^{i_{1}} . . . x_{k}^{i_{k}} ∣ (i_{1}, . . ., i_{k}) \in {0, 1}^{k}}) = (Z / 2 Z)^{k}$ , $Φ$ est aussi surjective. Donc $Φ$ est un isomorphisme. $(H, *)$ et $((Z / 2 Z)^{k}, +)$ sont isomorphes.

Enfin :

i_{1} = 0 \sum 1 \dots i_{k} = 0 \sum 1 (\overset{ˉ}{i_{1}}, . . ., \overset{ˉ}{i_{k}}) = (\overline{2^{k - 1}}, . . ., \overline{2^{k - 1}}) = (0, . . ., 0)

car $k \geq 2$ . Ainsi, si $∣ H ∣ \geq 3$ , alors $\prod_{g \in H} g = e$ .

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