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[Preuve] L'opérateur limite est linéaire (pour les suites)


Published
Revised
July 18, 2020
2 months ago

Énoncé

Soit  et  deux suites réelles convergentes et  un réel.

Les égalités suivantes sont toujours vraies :

  • 
  • 

Définition utilisée

Définition de la convergence d'une suite : 



Lemme utilisé

Démonstration (Addition)

Raisonnement par équivalence

Soit  et  deux suites réelles convergentes.

Démontrons la propriété suivante : 

Posons , par hypothèse, selon la définition de la convergence on a :



Donc  on a :



A l'aide de l'inégalité triangulaire :



Ce qui correspond à la définition de la convergence de la suite .

Donc la propriété  est toujours vraie.

Conclusion

Nous avons montré que la limite d'une somme de suite est égale à la somme des limites.

Démonstration (Multiplication par un scalaire)

Raisonnement par équivalence / disjonction de cas

Soit  une suite réelle convergente et  un réel.

Démontrons la propriété suivante : 

Pour le cas , l'égalité est vraie (), étudions le cas  :

Posons , par hypothèse, selon la définition de la convergence on a :



Donc  on a :



Ce qui correspond à la définition de la convergence de la suite .

Donc la propriété :  est toujours vraie.

Conclusion

Nous avons montré que la limite d'une suite multipliée par un scalaire est égale à la limite de cette suite multipliée par ce même scalaire.


Preuves Mathématiques

Des preuves claires ! (Merci de rester critique). Contact si erreur : sofiane.djerbi38@gmail.com