[Preuve] L'opérateur limite est linéaire (pour les suites)

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July 18, 2020

Il y a 4 années

Énoncé

Soit $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites réelles convergentes et $μ$ un réel.

Les égalités suivantes sont toujours vraies :

Définition de la convergence d'une suite : $lim u_{n} = l$

\forall ε > 0, \exists N \in N, \forall n \geq N, ∣ u_{n} - l ∣ < ε

Soit $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites réelles convergentes.

Démontrons la propriété suivante : $lim (u_{n} + v_{n}) = lim u_{n} + lim v_{n} = l_{1} + l_{2}$

Posons $ε > 0$ , par hypothèse, selon la définition de la convergence on a :

{\exists N_{1} \in N, \forall n \geq N_{1}, ∣ u_{n} - l ∣ < ε \exists N_{2} \in N, \forall n \geq N_{2}, ∣ v_{n} - l ∣ < ε

Donc $\forall n \geq max (N_{1}, N_{2})$ on a :

{∣ u_{n} - l_{1} ∣ < ε ∣ v_{n} - l_{2} ∣ < ε

A l'aide de l'inégalité triangulaire :

∣ u_{n} - l_{1} ∣ + ∣ v_{n} - l_{2} ∣ < 2 ε ⟺ ∣ u_{n} - l_{1} + v_{n} - l_{2} ∣ < 2 ε ⟺ ∣ u_{n} + v_{n} - (l_{2} + l_{1}) ∣ < 2 ε

Ce qui correspond à la définition de la convergence de la suite $(u_{n} + v_{n})$ .

Donc la propriété $lim (u_{n} + v_{n}) = lim u_{n} + lim v_{n} = l_{1} + l_{2}$ est toujours vraie.

Nous avons montré que la limite d'une somme de suite est égale à la somme des limites.

Soit $(u_{n})$ une suite réelle convergente et $μ$ un réel.

Démontrons la propriété suivante : $lim (μ u_{n}) = μ lim u_{n}$

Pour le cas $μ = 0$ , l'égalité est vraie ( $lim 0 = 0$ ), étudions le cas $μ \neq = 0$ :

Posons $ε > 0$ , par hypothèse, selon la définition de la convergence on a :

\exists N \in N, \forall n \geq N, ∣ u_{n} - l ∣ < \frac{ε}{∣ μ ∣}

Donc $\forall n \geq N$ on a :

∣ u_{n} - l ∣ ⟺ ∣ μ ∣ ∣ u_{n} - l ∣ ⟺ ∣ μ u_{n} - μ l ∣ < \frac{ε}{∣ μ ∣} < ε < ε

Ce qui correspond à la définition de la convergence de la suite $(μ u_{n})$ .

Donc la propriété : $lim (μ u_{n}) = μ lim u_{n}$ est toujours vraie.

Nous avons montré que la limite d'une suite multipliée par un scalaire est égale à la limite de cette suite multipliée par ce même scalaire.

Sofiane Maths

Des preuves claires ! (Merci de rester critique). Contact si erreur : [email protected]