[Preuve] L'opérateur limite est linéaire (pour les suites)

Énoncé

Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites réelles convergentes et $\mu$ un réel.

Les égalités suivantes sont toujours vraies :

• $\lim (u_n+v_n)=\lim u_n+\lim v_n$
• $\lim (\mu u_n)=\mu \lim u_n$

Définition utilisée

Définition de la convergence d'une suite : ${\lim }_{}{u}_n=l$

Lemme utilisé

• Inégalité triangulaire (Démonstration)

Démonstration (Addition)

Raisonnement par équivalence

Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites réelles convergentes.

Démontrons la propriété suivante : $\lim (u_n+v_n)=\lim u_n+\lim v_n=l_1+l_2$

Posons $\epsilon >0$, par hypothèse, selon la définition de la convergence on a :

Donc $\forall n\ge \max (N_1,N_2)$ on a :

A l'aide de l'inégalité triangulaire :

Ce qui correspond à la définition de la convergence de la suite $(u_n+v_n)$.

Donc la propriété $\lim (u_n+v_n)=\lim u_n+\lim v_n=l_1+l_2$ est toujours vraie.

Conclusion

Nous avons montré que la limite d'une somme de suite est égale à la somme des limites.

Démonstration (Multiplication par un scalaire)

Raisonnement par équivalence / disjonction de cas

Soit $(u_n)$ une suite réelle convergente et $\mu$ un réel.

Démontrons la propriété suivante : $\lim (\mu u_n)=\mu \lim u_n$

Pour le cas $\mu =0$, l'égalité est vraie ($\lim 0=0$), étudions le cas $\mu \ne 0$ :

Posons $\epsilon >0$, par hypothèse, selon la définition de la convergence on a :

Donc $\forall n\ge N$ on a :

Ce qui correspond à la définition de la convergence de la suite $(\mu u_n)$.

Donc la propriété : $\lim (\mu u_n)=\mu \lim u_n$ est toujours vraie.

Conclusion

Nous avons montré que la limite d'une suite multipliée par un scalaire est égale à la limite de cette suite multipliée par ce même scalaire.