Exo Maths X MP #44 - Étude d'une série entière

Exos Maths X MP

Publié

Révisé

January 7, 2021

Il y a 3 années

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit $l > 1$ . On définit la suite $(a_{n})$ par $a_{0} = 1$ et, pour tout $n \in N$ :

a_{n + 1} = \frac{l a _{n}}{l ^{n + 1} - 1}

On pose $f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ .

1. Quel est le domaine de définition de $f$ ? Quelle est sa régularité ?

2. Trouver une équation fonctionnelle vérifiée par $f$ .

3. Que dire des zéros de $f$ ?

Merci à Gabriel Chan d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Saad Souilmi (MP, Moulay Abdellah) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Question 1

$a_{0} > 1$ et $a_{n} > 0 ⟹ a_{n + 1} > 0$ , donc par récurrence, $\forall n \in N, a_{n} > 0$ . De plus :

\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{l}{l ^{n + 1} - 1} n \to + \infty 0

D'après le critère de d'Alembert, le rayon de convergence $R$ de $\sum a_{n} z^{n}$ est $+ \infty$ . Donc $f$ est définie sur $R$ et de classe $C^{\infty}$ .

Question 2

\forall n \in N, (l^{n + 1} - 1) a_{n + 1} = l a_{n}

On en déduit que $\forall x \in R$ :

l x f (x) = n = 0 \sum \infty l a_{n} x^{n + 1} = n = 0 \sum \infty (l^{n + 1} - 1) a_{n + 1} x^{n + 1} = n = 1 \sum \infty (l^{n} - 1) a_{n} x^{n} = n = 0 \sum \infty (l^{n} - 1) a_{n} x^{n} = n = 0 \sum \infty a_{n} (l x)^{n} - n = 0 \sum \infty a_{n} x^{n} = f (l x) - f (x)

Donc :

\forall x \in R, (1 + l x) f (x) = f (l x)

Question 3

On note $Z (f)$ l'ensemble des zéros de $f$ . D'après l'équation fonctionnelle :

{f (- 1) = (1 + l \frac{- 1}{l}) f (\frac{- 1}{l}) = 0 \forall x \in Z (f), l x \in Z (f)

Donc :

{- l^{k} ∣ k \in N} \subseteq Z (f)

Remarquons que si $x \in Z (f) \ {- 1}$ , alors $\frac{x}{l} \in Z (f)$ puisque $(1 + x) f (\frac{x}{l}) = f (x) = 0$ .

Supposons qu'il existe $x \in Z (f) \ {- l^{k} ∣ k \in N}$ . $\forall k \in N, \frac{x}{l ^{k}} \neq = - 1$ . Donc :

\forall k \in N, \frac{x}{l ^{k}} \in Z (f)

Or, $lim_{k \to + \infty} l^{- k} x = 0$ . Par continuité de $f$ , on a donc $f (0) = 0$ , ce qui est absurde puisque $f (0) = a_{1} = 1$ . Donc :

Z (f) = {- l^{k}; k \in N}

Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.