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Exo Maths X MP #44 - Étude d'une série entière


Published
Revised
January 7, 2021
3 months ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit . On définit la suite  par  et, pour tout  :



On pose .

1. Quel est le domaine de définition de  ? Quelle est sa régularité ?

2. Trouver une équation fonctionnelle vérifiée par .

3. Que dire des zéros de  ?

Merci à Gabriel Chan d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Saad Souilmi (MP, Moulay Abdellah) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Question 1

 et , donc par récurrence, . De plus :



D'après le critère de d'Alembert, le rayon de convergence  de  est . Donc  est définie sur  et de classe .

Question 2



On en déduit que  :



Donc :



Question 3

On note  l'ensemble des zéros de . D'après l'équation fonctionnelle :



Donc :



Remarquons que si , alors  puisque .

Supposons qu'il existe . . Donc :



Or, . Par continuité de , on a donc , ce qui est absurde puisque . Donc :



Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.