Dérivée d'une puissance énième de fonction et démonstration

La dérivée de la puissance énième d'une fonction fait partie des formules qu'un élève de prépa MPSI/MP se doit de connaître par coeur.

Dérivée de la puissance d'une fonction. Si $f$ est une fonction réelle dérivable en $a$, alors pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $f^n$ est dérivable en $a$ et :

Démonstration

Soit $f$ une fonction réelle dérivable en $a$. Pour démontrer cette propriété, nous allons procéder par récurrence sur $n$.

L'hypothèse de récurrence $H_n$ au rang $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ est :

Initialisation

Pour $n=1$, $1f^{\prime }(a)f^0(a)=f^{\prime }(a)=(f^1{)}^{\prime }(a)$.

Hérédité

Supposons $H_n$ vraie pour un $n\in \mathbb{N}$, et montrons que $H_{n+1}$ est vraie.

Comme $f$ est dérivable en $a$ et $f^n$ l'est aussi par hypothèse de récurrence, nous en déduisons que $f^{n+1}$ est dérivable par produit, c'est-à-dire que $f$ est dérivable $n+1$ fois en $a$.

De plus, en utilisant la formule de dérivée d'un produit :

Par hypothèse de récurrence :

Finalement, $H_{n+1}$ est vraie.