Exo Maths X MP #66 - Approximation infiniment continue

Exos Maths X MP

Publié

Révisé

June 8, 2021

Il y a 2 années

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2017.

Soient $u, v \in C^{0} ([0, 1], R)$ et $r, r^{'} > 0 .$ Montrer qu'il existe $f \in C^{\infty} ([0, 1], R)$ tel que $∣ ∣ f - u ∣ ∣_{\infty} \leq r$ et qu'il existe $n \in N$ tel que $∣ ∣ f^{(n)} - v ∣ ∣_{\infty} \leq r^{'}$ .

Merci à Romain Panis d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Ziad Oumzil (MP, Louis-le-Grand) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

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Puisque $u$ est une fonction continue sur le segment $[0; 1]$ , on peut appliquer le théorème d'approximation de Weierstrass : il existe un polynôme $U$ tel que

∥ U - u ∥_{\infty} \leq \frac{r}{2} .

De même, il existe un polynôme $V$ tel que

∥ V - v ∥_{\infty} \leq r^{'} .

On note $V = \sum_{k = 0}^{m} a_{k} X^{k}$ et pour tout $n \in N$ , on définit le polynôme $V_{n}$ comme suit :

V_{n} = k = 0 \sum m a_{k} \frac{k !}{( k + n ) !} X^{k + n} .

On remarque que pour tout $n \in N$ , on a $V_{n}^{(n)} = V$ . De plus :

∥ V_{n} ∥_{\infty} \leq k = 0 \sum m ∣ a_{k} ∣ \frac{k !}{( k + n ) !} \leq \frac{\sum _{k = 0}^{m} ∣ a _{k} ∣ k !}{n !} n \to + \infty 0 .

Il existe donc un rang $N$ à partir duquel $n \geq N$ implique que :

∥ V_{n} ∥_{\infty} \leq \frac{r}{2} .

Prenons alors $n > max (N, de g U)$ et posons $f = V_{n} + U$ . On obtient ainsi :

∥ f - u ∥_{\infty} \leq ∥ V_{n} ∥_{\infty} + ∥ U - u ∥_{\infty} \leq \frac{r}{2} + \frac{r}{2}

Et :

∥ f^{(n)} - v ∥_{\infty} = ∥ V_{n}^{(n)} + U^{(n)} - v ∥_{\infty} = ∥ V_{n}^{(n)} - v ∥_{\infty} = ∥ V - v ∥_{\infty} \leq r^{'} .

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