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Exo Maths X MP #66 - Approximation infiniment continue


Published
Revised
June 8, 2021
3 days ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2017.

Soient  et  Montrer qu'il existe  tel que  et qu'il existe  tel que .

Merci à Romain Panis d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Ziad Oumzil (MP, Louis-le-Grand) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Puisque  est une fonction continue sur le segment , on peut appliquer le théorème d'approximation de Weierstrass : il existe un polynôme  tel que



De même, il existe un polynôme  tel que



On note  et pour tout , on définit le polynôme  comme suit :



On remarque que pour tout , on a . De plus :



Il existe donc un rang  à partir duquel  implique que :



Prenons alors  et posons . On obtient ainsi :



Et :



Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.