Exo Maths X MP #54 - La fonction gamma

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2019.

On définit, pour tout $n\in \mathbb{N}$ et $x\in {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$, $f_n(x)=\frac{n!n^x}{x(x+1)...(x+n)}$.

1. Montrer que $(f_n{)}_n$ converge simplement sur $]0,+\infty [$. On note $\Gamma$ sa limite.

2. Montrer que $\Gamma$ vérifie la proprité (a) $\Gamma (1)=1$, la propriété (b) $\forall x>0,\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)$, et la propriété (c) $\forall x>0,\Gamma (x)>0$.

3. Montrer que $\Gamma$ vérifie la propriété (d) $\ln \Gamma$ est convexe.

4. Soit $f:{\mathbb{R}}_{+}^{\ast }\to \mathbb{R}$ vérifiant les propriétés (a), (b), (c) et (d). Montrer que $f=\Gamma$.

Merci à Astrid Nilsson d'avoir partagé l'exercice qu'elle a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Amine Eagle (MP*, Louis-le-Grand) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

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Question 1

Soit $x\in ]0,+\infty [$. Montrons que $(f_n(x){)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge.

Pour tout $n\in \mathbb{N}$, $f_n(x)>0$ et :

Donc $\ln \left(\frac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)}\right)=O(\frac{1}{n^2})$. Donc ${\sum }_{n\ge 0}\ln (\frac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)})$ converge. Donc $(\ln (f_n(x)){)}_n$ converge. Donc, par continuité de $\exp$, $(f_n(x){)}_n$ converge.

Remarque : Pour cette question, nous aurions pu nous contenter du DL ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^x=1+\frac{x}{n}+O(\frac{1}{n^2})$, mais avoir un DL plus précis va nous être utile à la question 2.

Question 2

Soit $n\in \mathbb{N}$ et $x\in {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$.

(a) $f_n(1)=\frac{n!n}{1\cdot 2\cdots (n+1)}=\frac{n}{n+1}\underset{n\to +\infty }{\to }1=\Gamma (1)$.

(b) $f_n(x+1)=\frac{n!n^x}{x(x+1)\cdots (x+n)}\cdot \frac{xn}{x+n}=\frac{xn}{x+n}{f}_n(x)$. En passant à la limite, $\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)$.

(c) Soit $x>0$, d'après la question 1, $\frac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)}=1+\frac{x^2+x}{2n(x+n+1)}+o(\frac{1}{n^2})$. Donc $\frac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)}>1$ à partir d'un certain rang, donc $(f_n(x){)}_n$ est croissante à partir d'un certain rang. Comme $f_n(x)>0$ pour tout $n\in \mathbb{N}$, $\Gamma (x)>0$.

Question 3

Soit $n\in \mathbb{N}$. Posons :

La dérivée seconde est :

Donc $\ln (f_n)$ est convexe. Or, la convexité passe à la limite simple, et comme $\ln (f_n)$ converge simplement vers $\ln (\Gamma )$, $\ln (\Gamma )$ est convexe.

Question 4

Soit $f$ vérifiant (a), (b), (c), (d).

D'après (b), $\forall n\in \mathbb{N},\forall x\in {\mathbb{R}}_{+}^{\ast },f(x+n+1)=f(x)x\cdots (x+n)$. D'après (a), $\forall n\in \mathbb{N},f(n+1)=n!$.

Soit $x\in ]0,1]$ et $n\in \mathbb{N}$. $x+n+1=(1-x)(n+1)+x(n+2)$. D'après (d) et en utilisant l'inégalité de convexité sur $\ln (f)$ entre $n+1$ et $n+2$ :

En remarquant que $n+1=x(x+n)+(1-x)(x+n+1)$, en utilisant l'inégalité de convexité sur $\ln (f)$ entre $x+n$ et $x+n+1$ :

Donc :

Or, $(n+1{)}^x\sim (n+x{)}^x\sim n^x$. Donc :

Donc par le théorème des gendarmes, $\Gamma (x)=f(x)$, et ce pour tout $x\in ]0,1]$. Comme $\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)$ et $f(x+1)=xf(x)$, si $\Gamma (x)=f(x)$, alors $\Gamma (x+1)=f(x+1)$. Et donc par récurrence immédiate, $\Gamma =f$.