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Exo Maths X MP #54 - La fonction gamma


Published
Revised
February 11, 2021
5 months ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2019.

On définit, pour tout  et , .

1. Montrer que  converge simplement sur . On note  sa limite.

2. Montrer que  vérifie la proprité (a) , la propriété (b) , et la propriété (c) .

3. Montrer que  vérifie la propriété (d)  est convexe.

4. Soit  vérifiant les propriétés (a), (b), (c) et (d). Montrer que .

Merci à Astrid Nilsson d'avoir partagé l'exercice qu'elle a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Amine Eagle (MP*, Louis-le-Grand) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Question 1

Soit . Montrons que  converge.

Pour tout ,  et :



Donc . Donc  converge. Donc  converge. Donc, par continuité de ,  converge.

Remarque : Pour cette question, nous aurions pu nous contenter du DL , mais avoir un DL plus précis va nous être utile à la question 2.

Question 2

Soit  et .

(a) .

(b) . En passant à la limite, .

(c) Soit , d'après la question 1, . Donc  à partir d'un certain rang, donc  est croissante à partir d'un certain rang. Comme  pour tout , .

Question 3

Soit . Posons :



La dérivée seconde est :



Donc  est convexe. Or, la convexité passe à la limite simple, et comme  converge simplement vers ,  est convexe.

Question 4

Soit  vérifiant (a), (b), (c), (d).

D'après (b), . D'après (a), .

Soit  et . . D'après (d) et en utilisant l'inégalité de convexité sur  entre  et  :



En remarquant que , en utilisant l'inégalité de convexité sur  entre  et  :



Donc :



Or, . Donc :



Donc par le théorème des gendarmes, , et ce pour tout . Comme  et , si , alors . Et donc par récurrence immédiate, .


Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.