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Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2019.
On définit, pour tout et , .
1. Montrer que converge simplement sur . On note sa limite.
2. Montrer que vérifie la proprité (a) , la propriété (b) , et la propriété (c) .
3. Montrer que vérifie la propriété (d) est convexe.
4. Soit vérifiant les propriétés (a), (b), (c) et (d). Montrer que .
Merci à Astrid Nilsson d'avoir partagé l'exercice qu'elle a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.
Bravo à Amine Eagle (MP*, Louis-le-Grand) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !
Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.
Soit . Montrons que converge.
Pour tout , et :
Donc . Donc converge. Donc converge. Donc, par continuité de , converge.
Remarque : Pour cette question, nous aurions pu nous contenter du DL , mais avoir un DL plus précis va nous être utile à la question 2.
Soit et .
(a) .
(b) . En passant à la limite, .
(c) Soit , d'après la question 1, . Donc à partir d'un certain rang, donc est croissante à partir d'un certain rang. Comme pour tout , .
Soit . Posons :
La dérivée seconde est :
Donc est convexe. Or, la convexité passe à la limite simple, et comme converge simplement vers , est convexe.
Soit vérifiant (a), (b), (c), (d).
D'après (b), . D'après (a), .
Soit et . . D'après (d) et en utilisant l'inégalité de convexité sur entre et :
En remarquant que , en utilisant l'inégalité de convexité sur entre et :
Donc :
Or, . Donc :
Donc par le théorème des gendarmes, , et ce pour tout . Comme et , si , alors . Et donc par récurrence immédiate, .
Exos Maths X MP
Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.