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Exo Maths X MP #9 - Équivalent d'une suite d'intégrales généralisées


Published
Revised
October 19, 2020
1 month ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2017.

Trouver un équivalent de la suite .

Correction

Bravo à Jean Wallard (MP*, Louis-le-Grand) et à Valentin Pesce (MP*, Thiers) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à eux d'avoir rédigé leurs corrections !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Version 1

On note . Si , en utilisant , et en faisant une intégration par parties formelle :



Cette IPP est bien valide car toutes les fonctions en jeu sont intégrables et le crochet tend vers 0 en  et . On obtient ainsi une relation de récurrence (1) sur les 



En multipliant par  :



Ainsi la suite  est constante et vaut 

Avec le changement de variable  :



Avec le changement de variable  :



Donc .

De plus , car  et  par (1). Donc .

Ainsi  Les  étant positifs :



Version 2

On pose  par parité de .

En utilisant que  puis en posant  :



En faisant l'opération que l'on vient de faire mais dans l'autres sens, c'est-à-dire en posant  puis en utilisant que  :



Ainsi  avec  l'intégrale de Wallis. Quelques propriétés de  :

  • Par IPP : , égalité notée (1),
  • En multipliant par  : , donc  est constante égale à .
  •  car  et  d'après (1).

Donc  donc .

Donc :



Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.