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Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2017.
Trouver un équivalent de la suite .
Bravo à Jean Wallard (MP*, Louis-le-Grand) et à Valentin Pesce (MP*, Thiers) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à eux d'avoir rédigé leurs corrections !
Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.
On note . Si , en utilisant , et en faisant une intégration par parties formelle :
Cette IPP est bien valide car toutes les fonctions en jeu sont intégrables et le crochet tend vers 0 en et . On obtient ainsi une relation de récurrence (1) sur les
En multipliant par :
Ainsi la suite est constante et vaut
Avec le changement de variable :
Avec le changement de variable :
Donc .
De plus , car et par (1). Donc .
Ainsi Les étant positifs :
On pose par parité de .
En utilisant que puis en posant :
En faisant l'opération que l'on vient de faire mais dans l'autres sens, c'est-à-dire en posant puis en utilisant que :
Ainsi avec l'intégrale de Wallis. Quelques propriétés de :
Donc donc .
Donc :
Exos Maths X MP
Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.