Exo Maths X MP #9 - Équivalent d'une suite d'intégrales généralisées

Exos Maths X MP

Publié

Révisé

October 19, 2020

Il y a 3 années

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2017.

Trouver un équivalent de la suite $(\int_{R} (\frac{1}{c h x})^{n} d x)_{n}$ .

Correction

Bravo à Jean Wallard (MP*, Louis-le-Grand) et à Valentin Pesce (MP*, Thiers) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à eux d'avoir rédigé leurs corrections !

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Version 1

On note $I_{n} = \int_{R} \frac{1}{c h ^{n} ( x )} d x$ . Si $n \geq 3$ , en utilisant $ch^{2} - sh^{2} = 1$ , et en faisant une intégration par parties formelle :

I_{n - 2} - I_{n} = \int_{R} \frac{ch ^{2} ( x ) - 1}{ch ^{n} ( x )} d x = \int_{R} \frac{- ( n - 1 ) sh ( x )}{ch ^{n} ( x )} . \frac{- sh ( x )}{n - 1} d x = [\frac{1}{ch ^{n - 1} ( x )} . \frac{- sh ( x )}{n - 1}]_{- \infty}^{+ \infty} - \int_{R} \frac{1}{ch ^{n - 1} ( x )} . \frac{- ch ( x )}{n - 1} d x = 0 + \frac{I _{n - 2}}{n - 1}

Cette IPP est bien valide car toutes les fonctions en jeu sont intégrables et le crochet tend vers 0 en $+ \infty$ et $- \infty$ . On obtient ainsi une relation de récurrence (1) sur les $I_{n} :$

I_{n} = \frac{n - 2}{n - 1} I_{n - 2}

En multipliant par $(n - 1) I_{n - 1}$ :

(n - 1) I_{n - 1} I_{n} = (n - 2) I_{n - 2} I_{n - 1}

Ainsi la suite $(n I_{n} I_{n + 1})_{n \geq 1}$ est constante et vaut $I_{1} I_{2} .$

Avec le changement de variable $u = e^{x}$ :

I_{1} = \int_{R} \frac{d x}{ch ( x )} = \int_{R} \frac{2 e ^{x} d x}{1 + e ^{2 x}} = \int_{R_{+}^{*}} \frac{2 d u}{1 + u ^{2}} = 2 [arctan (u)]_{0}^{+ \infty} = π

Avec le changement de variable $v = e^{2 x}$ :

I_{2} = \int_{R} \frac{d x}{c h ^{2} ( x )} = \int_{R} \frac{4 e ^{2 x} d x}{( 1 + e ^{2 x} ) ^{2}} = \int_{R_{+}^{*}} \frac{2 d v}{( 1 + v ) ^{2}} = \int_{1}^{+ \infty} \frac{2 d y}{y ^{2}} = [- \frac{2}{y}]_{1}^{+ \infty} = 2

Donc $n I_{n} I_{n + 1} = 2 π$ .

De plus $I_{n} \sim I_{n + 1}$ , car $I_{n + 2} \leq I_{n + 1} \leq I_{n}$ et $I_{n + 2} \sim I_{n}$ par (1). Donc $n I_{n} I_{n + 1} \sim n (I_{n})^{2}$ .

Ainsi $(I_{n})^{2} \sim \frac{2 π}{n} .$ Les $I_{n}$ étant positifs :

I_{n} \sim \frac{2 π}{n}

Version 2

On pose $I_{n} = \int_{R} \frac{1}{c h ( x ) ^{n}} d x = 2 \int_{R^{+}} \frac{1}{c h ( x ) ^{n}} d x$ par parité de $ch$ .

En utilisant que $ch (x) = \frac{1 + t h ( \frac{x}{2} ) ^{2}}{1 - t h ( \frac{x}{2} ) ^{2}}$ puis en posant $x = 2 arcth (u)$ :

\int_{R^{+}} \frac{1}{ch ( x ) ^{n}} d x = \int_{R^{+}} (\frac{1 - th ( \frac{x}{2} ) ^{2}}{1 + th ( \frac{x}{2} ) ^{2}})^{n} d x = \int_{0}^{1} (\frac{1 - u ^{2}}{1 + u ^{2}})^{n} \frac{2}{1 - u ^{2}} d u

En faisant l'opération que l'on vient de faire mais dans l'autres sens, c'est-à-dire en posant $u = tan (\frac{x}{2})$ puis en utilisant que $cos (x) = \frac{1 - t a n ( \frac{x}{2} ) ^{2}}{1 + t a n ( \frac{x}{2} ) ^{2}}$ :

\int_{0}^{1} (\frac{1 - u ^{2}}{1 + u ^{2}})^{n} \frac{2}{1 - u ^{2}} d u = \int_{0}^{\frac{π}{2}} (\frac{1 - tan ( \frac{x}{2} ) ^{2}}{1 + tan ( \frac{x}{2} ) ^{2}})^{n} \frac{1 + tan ( \frac{x}{2} ) ^{2}}{1 - tan ( \frac{x}{2} ) ^{2}} d u = \int_{0}^{\frac{π}{2}} (\frac{1 - tan ( \frac{x}{2} ) ^{2}}{1 + tan ( \frac{x}{2} ) ^{2}})^{n - 1} d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos (x)^{n - 1} d x

Ainsi $I_{n} = 2 W_{n - 1}$ avec $W_{n - 1} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos (x)^{n - 1} d x$ l'intégrale de Wallis. Quelques propriétés de $(W_{n})_{n}$ :

Par IPP : $W_{n} = \frac{n - 1}{n} W_{n - 2}$ , égalité notée (1),
En multipliant par $n W_{n - 1}$ : $n W_{n - 1} W_{n} = (n - 1) W_{n - 2} W_{n - 1}$ , donc $(n W_{n - 1} W_{n})_{n}$ est constante égale à $W_{0} W_{1} = \frac{π}{2} \cdot 1 = \frac{π}{2}$ .
$W_{n} \sim W_{n - 1}$ car $W_{n - 2} \leq W_{n - 1} \leq W_{n}$ et $W_{n} \sim W_{n - 2}$ d'après (1).

Donc $n (W_{n})^{2} \sim \frac{π}{2}$ donc $W_{n} \sim \frac{π}{2 n}$ .

Donc :

I_{n} \sim \frac{2 π}{n}

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