Welcome on Share!
Discover

shared contents

Subscribe

to sources that interest you

Share

your own contents

By using Miple's services, you agree to our Privacy policy.

Exo Maths X MP #24 - Espérance d'une variable aléatoire


Published
Revised
November 18, 2020
7 months ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit .  variables aléatoires i.i.d. de loi uniforme sur . On note  et  le premier indice  tel que .

1. Montrer que  est presque sûrement fini.

2. Calculer l'espérance de .

Merci à Pietro Cren d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Saad Souilmi (MP, Moulay Abdellah) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Question 1

On remarque que :



Soit  :



Or,  puisque, pour tout ,  est une suite croissante. Ainsi :



Comme les variables aléatoires  sont indépendantes :



Si on introduit , on remarque que :



 peut être vu comme :

  • le nombre de façons de répartir  objets dans  boites à capacité infinie,
  • qui peut être vu comme le nombre de nombres ayant exactement  uns (les objets) et  zéros (les  séparateurs des  boites),
  • qui peut être vu comme le nombre d'emplacements possibles pour les  zéros parmis les  zéros et uns, et ce nombre est .

Ainsi :



Donc , c'est-à-dire  est presque sûrement fini.

Question 2

 est à valeurs entières. Dans le cas où elle est intégrable, on a :



Pour tout , on a :



Si on note , on remarque que :



D'après la règle de d'Alembert, la série de terme général  converge et donc la série de terme général  converge.

On en déduit que  admet une espérance et que :



Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.