Exo Maths X MP #22 - Borne inférieure d'intégrales

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Calculer ${\inf }_{(a,b)\in {\mathbb{R}}^2}{\int }_0^{\pi }(a\cos t+b\sin t-t{)}^{2}dt$. La borne inférieure est-elle atteinte ? Pour quels $a$ et $b$ ?

Merci au polytechnicien qui a souhaité rester anonyme d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Chadi Sammou (MP, Mohamed V) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

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Soit $\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ l'ensemble des applications continues de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. On note $⟨f,g⟩={\int }_0^{\pi }f(t)g(t)dt$, produit scalaire de $\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})$. On note $E=\{t\mapsto a\cos (t)+b\sin (t)\mid (a,b)\in {\mathbb{R}}^2\}$, sous-espace vectoriel de $\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})$.

On remarque que :

où $P_E(\text{Id})$ est la projection orthogonale de l'identité sur $E$.

$P_E(\text{Id})\in E$ donc il existe $a,b\in E$ tels que $P_E(\text{Id})(t)=a\cos (t)+b\sin (t)$.

Comme $\cos$ et $\sin$ sont deux élément de $E$ et que $\text{Id}-P_E(\text{Id})$ est dans l'orthogonal de $E$, on a :

En sachant que :

• ${\int }_0^{\pi }t\cos (t)dt=2$,
• ${\int }_0^{\pi }t\sin (t)dt=\pi$,
• ${\int }_0^{\pi }\cos (t)\sin (t)dt=0$,
• ${\int }_0^{\pi }\cos (t{)}^{2}dt={\int }_0^{\pi }\sin (t{)}^{2}dt=\frac{\pi }{2}$,

on a :

La borne inférieure est atteinte en $(a,b)=(-4/\pi ,2)$ et :