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Exo Maths X MP #53 - Loi uniforme impossible


Published
Revised
February 9, 2021
2 weeks ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2018.

Soit  un nombre premier. Montrer qu'on ne peut pas avoir 2 variables aléatoires  et  à valeurs dans , indépendantes, non constantes presque sûrement, telles que  suive une loi uniforme sur .

Merci à Milan Arrouas d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Enzo Tavera (MP, Mariette) et Nino Emery (MP*, Faidherbe) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à eux d'avoir rédigé leur correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Soit  un nombre premier. Supposons l'existence de variables aléatoires  et  à valeurs dans , indépendantes, presque sûrement non constantes, telles que  suit une loi  uniforme sur .

Nous en déduisons cette égalité sur les fonctions génératrices :



Par définition, , ,  sont trois séries entières, mais puisque  et donc que , on peut les identifier à trois polynômes :

  • ,
  •  avec  et ,
  •  avec  et .

On introduit les polynômes unitaires associés :

  • ,
  • ,
  • .

On a alors . En identifiant les coefficients dominants, on a : . Et donc :



On suppose sans perte de généralité que .

Étape 1 :  et 

. Ainsi, les racines de  sont dans  et donc les racines de  et  sont aussi dans .

 est à coefficients réels, donc . Si , alors . Ainsi .

Notons  les racines de . On a d'une part :



et d'autre part :



On remarque alors que :



En évaluant en , on en déduit que , et donc :



Or, . L'égalité étant vraie pour une infinité de , on peut identifier les coefficients et donc :



Le même résultat tient pour les coefficients de .

Étape 2 : 

En identifiant les coefficients de degré  dans  et dans , on en déduit que . D'après l'étape 1, . Or,  et . Donc . Donc . Or, tous les termes de la somme sont positifs, donc tous les termes sont nuls, i.e. .

Étape 3 :  et 

Pour simplifier la rédaction ici, on note  avec  les coefficients définis précédemment et .

Montrons par récurrence que 

Initialisation : D'après l'étape 1,  et . Donc .

Hérédité : Soit . On suppose que . En identifiant les coefficients de degré  de  et , on en déduit que  puisque .

Par hypothèse de récurrence, . Or, . Donc . On a donc 2 cas :

  • Si , alors . De plus,  d'après l'étape 2. Donc .
  • Si , alors  et donc .

Donc .

Étape 4 : Absurdité

On remarque que :

  • .
  • . Or, , et . Donc .
  • . Or, , et . Donc .

Ce qui est absurde car  est premier.


Exos Maths X MP

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