Exo Maths X MP #59 - Condition suffisante à la symétrie d'une matrice

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2018.

Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ telle que $\forall X,Y\in {\mathbb{R}}^n,X^{T}AY=0⟹Y^{T}AX=0$. Montrer que $A$ est symétrique ou antisymétrique.

Merci à Reda Belhaj d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Hicham Oumouhou (MP*, Ibn Ghazi) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

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Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ telle que $\forall X,Y\in {\mathbb{R}}^n,X^{T}AY=0⟹Y^{T}AX=0$. La réciproque est alors aussi vraie, d'où les équivalences suivantes pour $X,Y\in {\mathbb{R}}^n$ :

En réécrivant avec le produit scalaire :

Donc $\forall Y\in {\mathbb{R}}^n,\{AY{\}}^{\perp }=\{A^{T}Y{\}}^{\perp }$, i.e. $\text{Vect}(AY)=\text{Vect}(A^{T}Y)$.

En particulier, $AY=0⟺A^{T}Y=0$. Donc $\forall Y\in \ker (A),AY=A^{T}Y$ et $\forall Y\in \ker (A),AY=-A^{T}Y$. $A$ restreinte à $\ker (A)$ est donc symétrique et antisymétrique.

Soit $S$ un supplémentaire de $\ker (A)$. Si $S=\{0\}$, alors $\ker (A)={\mathbb{R}}^n$ et $A$ est symétrique et antisymétrique. Supposons donc $S\ne \{0\}$ et prenons une base $(Y_1,...,Y_r)$ de $S$.

Nous savons que $\forall Y\in S,\text{Vect}(AY)=\text{Vect}(A^{T}Y)$, et donc que $\forall Y\in S,\exists f(Y)\in \mathbb{R},A^{T}Y=f(Y)AY$. On a alors ces deux égalités :

Par construction de $S$, $(A{Y}_1,...,A{Y}_r)$ est libre. Donc :

Notons $\lambda =f(Y_1+...+Y_n)$. On a alors :

C'est-à-dire $A^T=\lambda A$ sur $S$. Donc $A^{T}A=\lambda AA=A(\lambda A)=A{A}^T$ et :

Or, $\Vert A^{T}Y{\Vert }^2=|\lambda {|}^2\Vert AY{\Vert }^2$. Donc $|\lambda |=1$, i.e. $\lambda \in \{-1,1\}$. Si $\lambda =1$, $A$ est symétrique. Si $\lambda =-1$, $A$ est antisymétrique.