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Exo Maths X MP #59 - Condition suffisante à la symétrie d'une matrice


Published
Revised
March 16, 2021
4 months ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2018.

Soit  telle que . Montrer que  est symétrique ou antisymétrique.

Merci à Reda Belhaj d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Hicham Oumouhou (MP*, Ibn Ghazi) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Soit  telle que . La réciproque est alors aussi vraie, d'où les équivalences suivantes pour  :



En réécrivant avec le produit scalaire :



Donc , i.e. .

En particulier, . Donc  et .  restreinte à  est donc symétrique et antisymétrique.

Soit  un supplémentaire de . Si , alors  et  est symétrique et antisymétrique. Supposons donc  et prenons une base  de .

Nous savons que , et donc que . On a alors ces deux égalités :



Par construction de ,  est libre. Donc :



Notons . On a alors :



C'est-à-dire  sur . Donc  et :



Or, . Donc , i.e. . Si ,  est symétrique. Si ,  est antisymétrique.


Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.