Exo Maths X MP #5 - Convergence d'une série

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2018.

Montrer que la série ${\sum }_n\frac{\cos (\ln (n))}{n}$ diverge.

Correction

Bravo à Hugo Carreaud (MP*, Joffre) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

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Considérons la fonction :

$f$ est dérivable sur $\left[1,+\infty \right[$, de dérivée:

Soit $k$ un entier naturel supérieur ou égal à 2. La fonction constante égale à 1 et la fonction $f$ sont de classe $C^1$ sur l'intervalle $\left[1,+\infty \right[$. En intégrant par parties :

Si on note $\text{{}t\text{}}=t-\lfloor t\rfloor$, alors en sommant pour $k$ variant de $2$ à $n$ :

Or :

• ${\int }_1^{n}f(t)dt={\int }_1^n\frac{\cos (\ln (t))}{t}dt=[\sin (\ln (t)){]}_1^n=\sin (\ln (n))$.
• Sur $\left[1,+\infty \right[$, $\left|\text{{}t\text{}}{f}^{\prime }(t)\right|\le \left|f^{\prime }(t)\right|\le \frac{2}{t^2}$. $t\mapsto \frac{2}{t^2}$ étant intégrable, $t\mapsto \{t\}{f}^{\prime }(t)$ l'est aussi.

Ainsi, la série ${\sum }_{n}f(n)$ et la suite $(\sin (\ln (n)){)}_n$ sont de même nature.

Montrons que la suite $(\sin (\ln (n)){)}_{n\ge 1}$ n'admet pas de limite lorsque $n$ tend vers l'infini. Pour ce faire, on va montrer que $0$ et $1$ sont des valeurs d'adhérence.

Considérons l'extraction $q(n)=\lfloor \exp (2n\pi )\rfloor$. L'inégalité de la partie entière :

En passant l'inégalité au $\ln$ qui est croissant :

$\ln (1-\frac{1}{\exp (2n\pi )})$ tend vers $0$ donc $-\frac{\pi }{2}<\ln (1-\frac{1}{\exp (2n\pi )})$ à partir d'un certain rang. Donc les trois termes de l'inégalité vivent dans $\left]2n\pi -\frac{\pi }{2},2n\pi \right]$ où $\sin$ est croissant. Ainsi, à partir d'un certain rang :

Par encadrement, on conclut que $\sin (\ln (q(n)))$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$, donc $0$ est valeur d'adhérence de $(\sin (\ln (n)){)}_n$.

Considérons maintenant l'extraction $p(n)=\lfloor \exp (2n\pi +\frac{\pi }{2})\rfloor$. L'inégalité de la partie entière :

En passant l'inégalité au $\ln$ qui est croissant :

$\ln (1-\frac{1}{\exp (2n\pi +\frac{\pi }{2})})$ tend vers $0$ donc $-\pi <\ln (1-\frac{1}{\exp (2n\pi +\frac{\pi }{2})})$ à partir d'un certain rang. Donc les trois termes de l'inégalité vivent dans $\left]2n\pi -\frac{\pi }{2},2n\pi +\frac{\pi }{2}\right]$ où $\sin$ est croissant. Ainsi, à partir d'un certain rang :

Par encadrement, on conclut que $\sin (\ln (p(n)))$ tend vers $1$ quand $n$ tend vers l'infini, donc $1$ est valeur d'adhérence de $(\sin (\ln (n)){)}_n$.

La suite $(\sin (\ln (n)){)}_n$ possède donc 2 valeurs d'adhérence distinctes. Elle est donc divergente, ce qui donne le résultat voulu.