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Exo Maths X MP #5 - Convergence d'une série


Published
Revised
September 18, 2020
15 hours ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2018.

Montrer que la série  diverge.

Correction

Bravo à Hugo Carreaud (MP*, Joffre) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Considérons la fonction :



 est dérivable sur , de dérivée:



Soit  un entier naturel supérieur ou égal à 2. La fonction constante égale à 1 et la fonction  sont de classe  sur l'intervalle . En intégrant par parties :



Si on note , alors en sommant pour  variant de  à  :



Or :

  • .
  • Sur , .  étant intégrable,  l'est aussi.

Ainsi, la série  et la suite  sont de même nature.

Montrons que la suite  n'admet pas de limite lorsque  tend vers l'infini. Pour ce faire, on va montrer que  et  sont des valeurs d'adhérence.

Considérons l'extraction . L'inégalité de la partie entière :



En passant l'inégalité au  qui est croissant :



 tend vers  donc  à partir d'un certain rang. Donc les trois termes de l'inégalité vivent dans  est croissant. Ainsi, à partir d'un certain rang :



Par encadrement, on conclut que  tend vers  quand  tend vers , donc  est valeur d'adhérence de .

Considérons maintenant l'extraction . L'inégalité de la partie entière :



En passant l'inégalité au  qui est croissant :



 tend vers  donc  à partir d'un certain rang. Donc les trois termes de l'inégalité vivent dans  est croissant. Ainsi, à partir d'un certain rang :



Par encadrement, on conclut que  tend vers  quand  tend vers l'infini, donc  est valeur d'adhérence de .

La suite  possède donc 2 valeurs d'adhérence distinctes. Elle est donc divergente, ce qui donne le résultat voulu.


Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.