Dérivée énième d'un produit de fonctions et démonstration

Démos Maths MPSI

Published

Revised

June 5, 2020

10 months ago

Vous connaissez sûrement la formule de dérivation d'un produit de fonctions qui permet de facilement dériver un produit de fonctions. Mais qu'en est-il si vous voulez dériver plusieurs un produit ? Il existe aussi une formule pour ce faire (souvent appelée théorème de Leibniz).

Dérivée énième d'un produit de fonctions. Si $f$ et $g$ sont deux fonctions réelles $n$ fois dérivables en $a$ , alors $f g$ est $n$ fois dérivable en $a$ et :

(f g)^{(n)} (a) = k = 0 \sum n (k n) f^{(k)} (a) g^{(n - k)} (a)

Démonstration

Pour démontrer ce résultat, nous allons procéder par récurrence sur $n \in N$ .

L'hypothèse de récurrence $H_{n}$ au rang $n \in N$ est :

$f g$ est $n$ fois dérivable en $a$
$(f g)^{(n)} (a) = \sum_{k = 0}^{n} (k n) f^{(k)} (a) g^{(n - k)} (a)$

Initialisation

Pour $n = 0$ , si $f$ et $g$ sont deux fonctions 0 fois dérivable en $a$ , alors :

(f g)^{(0)} (a) = f (a) g (a) = (0 0) f^{(0)} (a) g^{(0)} (a)

Donc $H_{0}$ est vraie.

Hérédité

Soit $n \in N$ et $f$ et $g$ deux fonctions $n + 1$ fois dérivables en $a$ . Supposons $H_{n}$ vraie et montrons que $H_{n + 1}$ est aussi vraie.

Comme $f$ et $g$ sont $n + 1$ dérivables en $a$ , elles sont $n$ fois dérivables en $a$ , et par hypothèse de récurrence, $f g$ est $n$ fois dérivable en $a$ et :

(f g)^{(n)} (a) = k = 0 \sum n (k n) f^{(k)} (a) g^{(n - k)} (a)

$f$ et $g$ étant $n + 1$ fois dérivables, $f^{(k)} g^{(n - k)}$ est dérivable en $a$ pour tout $k \in [[0, n]]$ , donc $(f g)^{(n)}$ est dérivable en $a$ . Autrement dit, $f g$ est $n + 1$ fois dérivable en $a$ .

Au niveau de la formule :

(f g)^{(n + 1)} (a) = ((f g)^{(n)})^{'} (a) = (k = 0 \sum n (k n) f^{(k)} g^{(n - k)})^{'} (a) = (k = 0 \sum n (k n) (f^{(k)} g^{(n - k)})^{'}) (a)

En appliquant la formule de dérivation d'un produit de fonctions :

(f g)^{(n + 1)} (a) = (k = 0 \sum n (k n) (f^{(k + 1)} g^{(n - k)} + f^{(k)} g^{(n - k + 1)})) (a) = (k = 0 \sum n (k n) f^{(k + 1)} g^{(n - k)} + k = 0 \sum n (k n) f^{(k)} g^{(n - k + 1)}) (a)

Faisons le changement de variable $i = k + 1$ dans la première somme, puis renommons $i$ en $k$ :

(f g)^{(n + 1)} (a) = (k = 1 \sum n + 1 (k - 1 n) f^{(k)} g^{(n - k + 1)} + k = 0 \sum n (k n) f^{(k)} g^{(n - k + 1)}) (a)

Puis :

isolons le terme $k = n + 1$ de la première somme et le terme $k = 0$ de la seconde,
réunissons les deux sommes pour $k \in [[1, n]]$ ,
appliquons les égalités $(k - 1 n) + (k n) = (k n + 1)$ , $(n n) = (n + 1 n + 1)$ et $(0 n) = (0 n + 1)$ ,

ce qui nous donne :

(f g)^{(n + 1)} (a) = (n + 1 n + 1) (f^{(n + 1)} g^{(0)}) (a) + k = 1 \sum n (k n + 1) (f^{(k)} g^{(n - k + 1)}) (a) + (0 n + 1) (f^{(0)} g^{(n + 1)}) (a)

En regroupant les termes sous une même somme, nous pouvons conclure :

(f g)^{(n + 1)} (a) = k = 0 \sum n + 1 (k n + 1) f^{(k)} (a) g^{(n + 1 - k)} (a)

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