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Dérivée énième d'un produit de fonctions et démonstration


Published
Revised
June 5, 2020
1 month ago

Vous connaissez sûrement la formule de dérivation d'un produit de fonctions qui permet de facilement dériver un produit de fonctions. Mais qu'en est-il si vous voulez dériver plusieurs un produit ? Il existe aussi une formule pour ce faire (souvent appelée théorème de Leibniz).

Dérivée énième d'un produit de fonctions. Si  et  sont deux fonctions réelles  fois dérivables en , alors  est  fois dérivable en  et :



Démonstration

Pour démontrer ce résultat, nous allons procéder par récurrence sur .

L'hypothèse de récurrence  au rang  est :

  •  est  fois dérivable en 
  • 

Initialisation

Pour , si  et  sont deux fonctions 0 fois dérivable en , alors :



Donc  est vraie.

Hérédité

Soit  et  et  deux fonctions  fois dérivables en . Supposons  vraie et montrons que  est aussi vraie.

Comme  et  sont  dérivables en , elles sont  fois dérivables en , et par hypothèse de récurrence,  est  fois dérivable en  et :



 et  étant  fois dérivables,  est dérivable en  pour tout , donc  est dérivable en . Autrement dit,  est  fois dérivable en .

Au niveau de la formule :



En appliquant la formule de dérivation d'un produit de fonctions :



Faisons le changement de variable  dans la première somme, puis renommons  en  :



Puis :

  • isolons le terme  de la première somme et le terme  de la seconde,
  • réunissons les deux sommes pour ,
  • appliquons les égalités ,  et ,

ce qui nous donne :



En regroupant les termes sous une même somme, nous pouvons conclure :



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