Dérivée énième d'un produit de fonctions et démonstration

Démos Maths MPSI

Published

Revised

June 5, 2020

4 months ago

Vous connaissez sûrement la formule de dérivation d'un produit de fonctions qui permet de facilement dériver un produit de fonctions. Mais qu'en est-il si vous voulez dériver plusieurs un produit ? Il existe aussi une formule pour ce faire (souvent appelée théorème de Leibniz).

Dérivée énième d'un produit de fonctions. Si $f$ et $g$ sont deux fonctions réelles $n$ fois dérivables en $a$ , alors $f g$ est $n$ fois dérivable en $a$ et :

(f g)^{(n)} (a) = k = 0 \sum n (k n) f^{(k)} (a) g^{(n - k)} (a)

Démonstration

Pour démontrer ce résultat, nous allons procéder par récurrence sur $n \in N$ .

L'hypothèse de récurrence $H_{n}$ au rang $n \in N$ est :

$f g$ est $n$ fois dérivable en $a$
$(f g)^{(n)} (a) = \sum_{k = 0}^{n} (k n) f^{(k)} (a) g^{(n - k)} (a)$

Initialisation

Pour $n = 0$ , si $f$ et $g$ sont deux fonctions 0 fois dérivable en $a$ , alors :

(f g)^{(0)} (a) = f (a) g (a) = (0 0) f^{(0)} (a) g^{(0)} (a)

Donc $H_{0}$ est vraie.

Hérédité

Soit $n \in N$ et $f$ et $g$ deux fonctions $n + 1$ fois dérivables en $a$ . Supposons $H_{n}$ vraie et montrons que $H_{n + 1}$ est aussi vraie.

Comme $f$ et $g$ sont $n + 1$ dérivables en $a$ , elles sont $n$ fois dérivables en $a$ , et par hypothèse de récurrence, $f g$ est $n$ fois dérivable en $a$ et :

(f g)^{(n)} (a) = k = 0 \sum n (k n) f^{(k)} (a) g^{(n - k)} (a)

$f$ et $g$ étant $n + 1$ fois dérivables, $f^{(k)} g^{(n - k)}$ est dérivable en $a$ pour tout $k \in [[0, n]]$ , donc $(f g)^{(n)}$ est dérivable en $a$ . Autrement dit, $f g$ est $n + 1$ fois dérivable en $a$ .

Au niveau de la formule :

(f g)^{(n + 1)} (a) = ((f g)^{(n)})^{'} (a) = (k = 0 \sum n (k n) f^{(k)} g^{(n - k)})^{'} (a) = (k = 0 \sum n (k n) (f^{(k)} g^{(n - k)})^{'}) (a)

En appliquant la formule de dérivation d'un produit de fonctions :

(f g)^{(n + 1)} (a) = (k = 0 \sum n (k n) (f^{(k + 1)} g^{(n - k)} + f^{(k)} g^{(n - k + 1)})) (a) = (k = 0 \sum n (k n) f^{(k + 1)} g^{(n - k)} + k = 0 \sum n (k n) f^{(k)} g^{(n - k + 1)}) (a)

Faisons le changement de variable $i = k + 1$ dans la première somme, puis renommons $i$ en $k$ :

(f g)^{(n + 1)} (a) = (k = 1 \sum n + 1 (k - 1 n) f^{(k)} g^{(n - k + 1)} + k = 0 \sum n (k n) f^{(k)} g^{(n - k + 1)}) (a)

Puis :

isolons le terme $k = n + 1$ de la première somme et le terme $k = 0$ de la seconde,
réunissons les deux sommes pour $k \in [[1, n]]$ ,
appliquons les égalités $(k - 1 n) + (k n) = (k n + 1)$ , $(n n) = (n + 1 n + 1)$ et $(0 n) = (0 n + 1)$ ,

ce qui nous donne :

(f g)^{(n + 1)} (a) = (n + 1 n + 1) (f^{(n + 1)} g^{(0)}) (a) + k = 1 \sum n (k n + 1) (f^{(k)} g^{(n - k + 1)}) (a) + (0 n + 1) (f^{(0)} g^{(n + 1)}) (a)

En regroupant les termes sous une même somme, nous pouvons conclure :

(f g)^{(n + 1)} (a) = k = 0 \sum n + 1 (k n + 1) f^{(k)} (a) g^{(n + 1 - k)} (a)

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