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Vous connaissez sûrement la formule de dérivation d'un produit de fonctions qui permet de facilement dériver un produit de fonctions. Mais qu'en est-il si vous voulez dériver plusieurs un produit ? Il existe aussi une formule pour ce faire (souvent appelée théorème de Leibniz).
Dérivée énième d'un produit de fonctions. Si et sont deux fonctions réelles fois dérivables en , alors est fois dérivable en et :
Pour démontrer ce résultat, nous allons procéder par récurrence sur .
L'hypothèse de récurrence au rang est :
Pour , si et sont deux fonctions 0 fois dérivable en , alors :
Donc est vraie.
Soit et et deux fonctions fois dérivables en . Supposons vraie et montrons que est aussi vraie.
Comme et sont dérivables en , elles sont fois dérivables en , et par hypothèse de récurrence, est fois dérivable en et :
et étant fois dérivables, est dérivable en pour tout , donc est dérivable en . Autrement dit, est fois dérivable en .
Au niveau de la formule :
En appliquant la formule de dérivation d'un produit de fonctions :
Faisons le changement de variable dans la première somme, puis renommons en :
Puis :
ce qui nous donne :
En regroupant les termes sous une même somme, nous pouvons conclure :
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