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Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.
Soit la base canonique de . Soit et tels que , (en posant ).
Trouver une condition nécessaire et suffisante sur les pour que soit diagonalisable et donner les sous-espaces propres.
Merci à Merlin Fruchon d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.
Bravo à Jean Wallard (MP*, Louis-le-Grand) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à lui d'avoir rédigé une correction !
Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.
Par récurrence sur :
où le dernier coefficient non nul de la première ligne vaut et est situé à la -ième colonne.
Ainsi, la famille est échelonnée selon là -ième diagonale supérieure. Elle est donc libre. On en déduit que le polynôme minimal de est de degré au moins .
Ainsi, " diagonalisable" équivaut à " scindé à racines simples" équivaut à " a racines simples distinctes" équivaut à "les sont deux à deux distincts".
Soit vecteur propre non-nul de pour.
Si , alors quelque soit . Si , alors , donc , donc . Ainsi :
Exos Maths X MP
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