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Exo Maths X MP #12 - Condition de diagonalisabilité


Published
Revised
October 24, 2020
4 weeks ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit  la base canonique de . Soit  et  tels que ,   (en posant ).

Trouver une condition nécessaire et suffisante sur les  pour que  soit diagonalisable et donner les sous-espaces propres.

Merci à Merlin Fruchon d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Jean Wallard (MP*, Louis-le-Grand) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Condition nécessaire et suffisante

Par récurrence sur  :



où le dernier coefficient non nul de la première ligne vaut  et est situé à la -ième colonne.

Ainsi, la famille  est échelonnée selon là -ième diagonale supérieure. Elle est donc libre. On en déduit que le polynôme minimal  de  est de degré au moins .

Ainsi, " diagonalisable" équivaut à " scindé à racines simples" équivaut à " a  racines simples distinctes" équivaut à "les  sont deux à deux distincts".

Espaces propres

Soit  vecteur propre non-nul de  pour.



Si , alors  quelque soit . Si , alors , donc , donc . Ainsi :



Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.