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Exo Maths X MP #50 - Calcul de déterminant


Published
Revised
January 28, 2021
8 months ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2018.

Soit  une matrice de permutation.

1. Calculer le déterminant de .

2. Calculer le déterminant de .

Merci à Samuel Dentan d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Thomas Sepulchre (MP*, Louis-le-Grand) et Enguerrand Moulinier (MP*, Marcelin-Berthelot) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à eux d'avoir rédigé leur correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Question 1

Si on note  le vecteur de  dont toutes les composantes valent , on remarque que , donc , donc .

Question 2

On note  la permutation associée à la matrice .

Étape 1 :  si  est un cycle (via un calcul direct).

Supposons que  soit une permutation cyclique. Ainsi :



Par définition :



Si  vérifient , alors . Montrons que  et .

Supposons . Il existe donc  tel que . Si , alors  et, par injectivité de ,  ce qui n'est pas possible puisque  est une permutation cyclique. Donc . Par récurrence immédiate, . Donc .

On en déduit donc que :



Par conséquent,  si  est pair et  si  est impair.

Étape 1 :  si  est un cycle (via le polynôme caractéristique).

Soit  la base canonique de . et donc, ce qui implique que :

  •  et donc  annule ,
  • , donc  est une base, donc le polynôme minimal  de  est de degré .

 et  sont unitaires, de même degré, et  divise , donc . Ainsi :



Par conséquent,  si  est pair et  si  est impair.

Étape 2 :  dans le cas général.

En toute généralité, la permutation  peut être décomposée en  cycles  à supports disjoints et de longueurs . En réordonnant les termes de la base,  est donc semblable à une matrice à  blocs où chaque bloc  est une matrice de permutation de longueur .

Si  est pair, d'après l'étape 1, , sino . Ainsi, si  se décompose en  cycles à supports disjoints de longueurs toutes impaires, alors , sinon .


Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.