Exo Maths X MP #50 - Calcul de déterminant

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2018.

Soit $P$ une matrice de permutation.

1. Calculer le déterminant de $I_n-P$.

2. Calculer le déterminant de $I_n+P$.

Merci à Samuel Dentan d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Thomas Sepulchre (MP*, Louis-le-Grand) et Enguerrand Moulinier (MP*, Marcelin-Berthelot) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à eux d'avoir rédigé leur correction !

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Question 1

Si on note $\tilde{1}$ le vecteur de ${\mathbb{R}}^n$ dont toutes les composantes valent $1$, on remarque que $P\tilde{1}=\tilde{1}$, donc $(I_n-P)\tilde{1}=0$, donc $\det (I_n-P)=0$.

Question 2

On note $p$ la permutation associée à la matrice $P$.

Étape 1 : $\det (P+I_n)$ si $p$ est un cycle (via un calcul direct).

Supposons que $p$ soit une permutation cyclique. Ainsi :

Par définition :

Si $\sigma$ vérifient ${\prod }_i[I_n+P{]}_{i,\sigma (i)}\ne 0$, alors $\forall i\in [[1,n]],\sigma (i)\in \{i,p(i)\}$. Montrons que $\sigma =\text{Id}$ et $\sigma =p$.

Supposons $p\ne \text{Id}$. Il existe donc $i\in [[1,n]]$ tel que $\sigma (i)=p(i)$. Si $\sigma (p(i))=p(i)$, alors $\sigma (p(i))=\sigma (i)$ et, par injectivité de $\sigma$, $p(i)=i$ ce qui n'est pas possible puisque $p$ est une permutation cyclique. Donc $\sigma (p(i))=p(p(i))$. Par récurrence immédiate, $\forall k\in [[0,n-1]],\sigma (p^k(i))=p(p^k(i))$. Donc $\sigma =\text{p}$.

On en déduit donc que :

Par conséquent, $\det (I_n+P)=0$ si $n$ est pair et $2$ si $n$ est impair.

Étape 1 : $\det (P+I_n)$ si $p$ est un cycle (via le polynôme caractéristique).

Soit $(E_1,...,E_n)$ la base canonique de ${\mathbb{R}}^n$. $\forall i\in [[1,n]],P{E}_i=E_{p(i)}$et donc$\forall i\in [[1,n]],P^n{E}_i=E_{p^{\circ n}(i)}=E_i$, ce qui implique que :

• $P^n=I_n$ et donc $X^n-1$ annule $P$,
• $\{P^k{E}_1\mid k\in [[0,n-1]]\}=\{E_{p^{\circ k}(1)}\mid k\in [[0,n-1]]\}=\{E_1,...,E_n\}$, donc $(E_1,P{E}_1,...,P^{n-1}{E}_1)$ est une base, donc le polynôme minimal ${\chi }_P$ de $P$ est de degré $n$.

${\chi }_P$ et $X^n-1$ sont unitaires, de même degré, et ${\chi }_P$ divise $X^n-1$, donc ${\chi }_P=X^n-1$. Ainsi :

Par conséquent, $\det (I_n+P)=0$ si $n$ est pair et $2$ si $n$ est impair.

Étape 2 : $\det (P+I_n)$ dans le cas général.

En toute généralité, la permutation $p$ peut être décomposée en $K$ cycles $p_1,...,p_K$ à supports disjoints et de longueurs $l_1,...,l_K$. En réordonnant les termes de la base, $P$ est donc semblable à une matrice à $K$ blocs où chaque bloc $P_i$ est une matrice de permutation de longueur $l_i$.

Si $l_i$ est pair, d'après l'étape 1, $\det (I_{l_i}+P_i)=2$, sino $\det (I_{l_i}+P_i)=0$. Ainsi, si $p$ se décompose en $K$ cycles à supports disjoints de longueurs toutes impaires, alors $\det (I_n+P)=2^K$, sinon $\det (I_n+P)=0$.