Inégalité triangulaire, cas d'égalité et démonstrations

Les inégalités triangulaires permettent de majorer ou minorer la valeur absolue d'une somme dans le cas réel, le module d'une somme dans le cas complexe, ou la norme d'une somme dans le cas préhilbertien. Dans les cas d'égalité, des informations supplémentaires peuvent être déduites sur les termes de la somme.

Ces formules font parties de celles qu'un élève en classe prépa MPSI, PCSI, PTSI ou BCPST se doit de toujours avoir en tête.

Au sommaire de cette page :

1. Cas réel : inégalités triangulaires, cas d'égalité et démonstrations,
2. Cas complexe : inégalités triangulaires, cas d'égalité et démonstrations,
3. Cas préhilbertien : inégalités triangulaires, cas d'égalité et démonstrations.

Cas réel

Inégalités triangulaires. Si $a$ et $b$ sont deux nombres réels, alors :

1. $|a+b|\le |a|+|b|$
2. $||a|-|b||\le |a-b|$

où $|.|$ désigne la valeur absolue.

Cas d'égalité. Si $a$ et $b$ sont deux nombres réels tels que $|a+b|=|a|+|b|$ ou $||a|-|b||=|a-b|$, alors $a$ et $b$ sont de même signe.

Démonstration (première inégalité triangulaire)

Soit $(a,b)\in {\mathbb{R}}^2$. L'astuce pour démontrer cette inégalité triangulaire est de considérer $|a+b{|}^2$ plutôt que $|a+b|$, et de se rappeler que $|x{|}^2=x^2$ pour $x$ réel :

Comme $ab\le |ab|=|a||b|$ :

Par croissance de la fonction carré, nous obtenons la première inégalité :

Démonstration (seconde inégalité triangulaire)

Pour démontrer cette seconde inégalité triangulaire, nous allons utiliser la première :

Comme $||a|-|b||=\max (|a|-|b|,|b|-|a|)$, on obtient la seconde inégalité :

Cette seconde inégalité est équivalente à celle énoncée plus haut. Pour le voir, il suffit de remplacer $b$ par $-b$.

Démonstration (premier cas d'égalité)

Soit $(a,b)\in {\mathbb{R}}^2$ tels que $|a+b|=|a|+|b|$.

En passant l'égalité au carré et utilisant l'identité $|x{|}^2=x^2$ :

Ainsi, $|a+b|=|a|+|b|$ ssi $a$ et $b$ sont de même signe.

Démonstration (second cas d'égalité)

Soit $(a,b)\in {\mathbb{R}}^2$ tels que $||a|-|b||=|a-b|$.

En passant l'égalité au carré et utilisant l'identité $|x{|}^2=x^2$ :

Ainsi, $||a|-|b||=|a-b|$ ssi $a$ et $b$ sont de même signe.

Cas complexe

Inégalités triangulaires. Si $a$ et $b$ sont deux nombres complexes, alors :

1. $|a+b|\le |a|+|b|$
2. $||a|-|b||\le |a-b|$

où $|.|$ désigne le module.

Cas d'égalité. Si $a$ et $b$ sont deux nombres complexes tels que $|a+b|=|a|+|b|$ ou $||a|-|b||=|a-b|$, alors $a$ et $b$ sont positivement liés, i.e. :

Démonstration (première inégalité triangulaire)

Soit $(a,b)\in {\mathbb{C}}^2$. Rappelons que pour $z\in \mathbb{C}$, nous avons les identités :

• $|z{|}^2=z\bar{z}$
• $z+\bar{z}=2Re(z)$
• $Re(z)\le |z|$

En utilisant ces identités et en considérant $|a+b{|}^2$ plutôt que $|a+b|$ :

Par croissance de la fonction carré, nous obtenons la première inégalité :

Démonstration (seconde inégalité triangulaire)

Pour démontrer cette seconde inégalité triangulaire, nous allons utiliser la première :

Comme $||a|-|b||=\max (|a|-|b|,|b|-|a|)$, on obtient la seconde inégalité :

Cette seconde inégalité est équivalente à celle énoncée plus haut. Pour le voir, il suffit de remplacer $b$ par $-b$.

Démonstration (premier cas d'égalité)

Soit $(a,b)\in {\mathbb{C}}^2$ tels que $|a+b|=|a|+|b|$.

En passant l'égalité au carré :

Or :

avec ${\lambda }^{\prime }\in {\mathbb{R}}^{+}$.

Ainsi, $|a+b|=|a|+|b|$ ssi $a$ et $b$ sont positivement liés, i.e. :

Démonstration (second cas d'égalité)

Soit $(a,b)\in {\mathbb{C}}^2$ tels que $||a|-|b||=|a-b|$.

En passant l'égalité au carré :

Nous retombons sur les mêmes calculs que ceux faits dans le premier cas d'égalité. Nous pouvons donc conclure la même chose, c'est-à-dire que $||a|-|b||=|a-b|$ ssi $a$ et $b$ sont positivement liés.

Cas préhilbertien

Inégalités triangulaires. Si $(E,⟨.,.⟩)$ est un espace préhilbertien réel et $(a,b)\in E^2$, alors :

1. $\Vert a+b\Vert \le \Vert a\Vert +\Vert b\Vert$
2. $|\Vert a\Vert -\Vert b\Vert |\le \Vert a-b\Vert$

où $\Vert .\Vert$ désigne la norme induite par le produit scalaire.

Cas d'égalité. Si $(a,b)\in E^2$ tels que $\Vert a+b\Vert =\Vert a\Vert +\Vert b\Vert$ ou $|\Vert a\Vert -\Vert b\Vert |=\Vert a-b\Vert$, alors $a$ et $b$ sont positivement liés, i.e. :

Démonstration (première inégalité triangulaire)

L'astuce est de considérer $\Vert a+b{\Vert }^2$ plutôt que $\Vert a+b\Vert$ :

D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz, $|⟨a,b⟩|\le \Vert a\Vert \Vert b\Vert$. Donc :

Par croissance de la fonction carré, nous obtenons la première inégalité :

Démonstration (seconde inégalité triangulaire)

Pour démontrer cette seconde inégalité triangulaire, nous allons utiliser la première :

Comme $|\Vert a\Vert -\Vert b\Vert |=\max (\Vert a\Vert -\Vert b\Vert ,\Vert b\Vert -\Vert a\Vert )$, on en déduit la seconde inégalité :

Cette seconde inégalité est équivalente à celle énoncée plus haut. Pour le voir, il suffit de remplacer $b$ par $-b$.

Démonstration (premier cas d'égalité)

Soit $(a,b)\in E^2$ tels que $\Vert a+b\Vert =\Vert a\Vert +\Vert b\Vert$.

En passant l'égalité au carré :

D'après le cas d'égalité de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, nous savons que $a$ et $b$ sont liés. Si $a=0$, l'égalité est vérifiée quelque soit $b$. Supposons donc $a\ne 0$, ce qui nous permet de dire que $\exists \lambda \in \mathbb{R},b=\lambda a$. En injectant dans l'égalité :

Ainsi, $\Vert a+b\Vert =\Vert a\Vert +\Vert b\Vert$ ssi $a$ et $b$ sont positivement liés.

Démonstration (deuxième cas d'égalité)

Soit $(a,b)\in {\mathbb{C}}^2$ tels que $|\Vert a\Vert -\Vert b\Vert |=\Vert a-b\Vert$.

En passant l'égalité au carré :

Nous retombons sur les mêmes calculs que ceux faits dans le premier cas d'égalité. Nous pouvons donc conclure la même chose, c'est-à-dire que $|\Vert a\Vert -\Vert b\Vert |=\Vert a-b\Vert$ ssi $a$ et $b$ sont positivement liés.