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Inégalité triangulaire, cas d'égalité et démonstrations


Published
Revised
June 4, 2020
1 month ago

Démonstration rédigée par Lucas Willems. Pour ajouter une démonstration à la source, contactez Lucas Willems <lcswillems@gmail.com>.

Les inégalités triangulaires permettent de majorer ou minorer la valeur absolue d'une somme dans le cas réel, le module d'une somme dans le cas complexe, ou la norme d'une somme dans le cas préhilbertien. Dans les cas d'égalité, des informations supplémentaires peuvent être déduites sur les termes de la somme.

Ces formules font parties de celles qu'un élève en classe prépa MPSI, PCSI, PTSI ou BCPST se doit de toujours avoir en tête.

Au sommaire de cette page :

  1. Cas réel : inégalités triangulaires, cas d'égalité et démonstrations,
  2. Cas complexe : inégalités triangulaires, cas d'égalité et démonstrations,
  3. Cas préhilbertien : inégalités triangulaires, cas d'égalité et démonstrations.

Cas réel

Inégalités triangulaires. Si  et  sont deux nombres réels, alors :

  1. 
  2. 

 désigne la valeur absolue.

Cas d'égalité. Si  et  sont deux nombres réels tels que  ou , alors  et  sont de même signe.

Démonstration (première inégalité triangulaire)

Soit . L'astuce pour démontrer cette inégalité triangulaire est de considérer  plutôt que , et de se rappeler que  pour  réel :



Comme  :



Par croissance de la fonction carré, nous obtenons la première inégalité :



Démonstration (seconde inégalité triangulaire)

Pour démontrer cette seconde inégalité triangulaire, nous allons utiliser la première :



Comme , on obtient la seconde inégalité :



Cette seconde inégalité est équivalente à celle énoncée plus haut. Pour le voir, il suffit de remplacer  par .

Démonstration (premier cas d'égalité)

Soit  tels que .

En passant l'égalité au carré et utilisant l'identité  :



Ainsi,  ssi  et  sont de même signe.

Démonstration (second cas d'égalité)

Soit  tels que .

En passant l'égalité au carré et utilisant l'identité  :



Ainsi,  ssi  et  sont de même signe.

Cas complexe

Inégalités triangulaires. Si  et  sont deux nombres complexes, alors :

  1. 
  2. 

 désigne le module.

Cas d'égalité. Si  et  sont deux nombres complexes tels que  ou , alors  et  sont positivement liés, i.e. :



Démonstration (première inégalité triangulaire)

Soit . Rappelons que pour , nous avons les identités :

  • 
  • 
  • 

En utilisant ces identités et en considérant  plutôt que  :



Par croissance de la fonction carré, nous obtenons la première inégalité :



Démonstration (seconde inégalité triangulaire)

Pour démontrer cette seconde inégalité triangulaire, nous allons utiliser la première :



Comme , on obtient la seconde inégalité :



Cette seconde inégalité est équivalente à celle énoncée plus haut. Pour le voir, il suffit de remplacer  par .

Démonstration (premier cas d'égalité)

Soit  tels que .

En passant l'égalité au carré :



Or :



avec .

Ainsi,  ssi  et  sont positivement liés, i.e. :



Démonstration (second cas d'égalité)

Soit  tels que .

En passant l'égalité au carré :



Nous retombons sur les mêmes calculs que ceux faits dans le premier cas d'égalité. Nous pouvons donc conclure la même chose, c'est-à-dire que  ssi  et  sont positivement liés.

Cas préhilbertien

Inégalités triangulaires. Si  est un espace préhilbertien réel et , alors :

  1. 
  2. 

 désigne la norme induite par le produit scalaire.

Cas d'égalité. Si  tels que  ou , alors  et  sont positivement liés, i.e. :



Démonstration (première inégalité triangulaire)

L'astuce est de considérer  plutôt que  :



D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz, . Donc :



Par croissance de la fonction carré, nous obtenons la première inégalité :



Démonstration (seconde inégalité triangulaire)

Pour démontrer cette seconde inégalité triangulaire, nous allons utiliser la première :



Comme , on en déduit la seconde inégalité :



Cette seconde inégalité est équivalente à celle énoncée plus haut. Pour le voir, il suffit de remplacer  par .

Démonstration (premier cas d'égalité)

Soit  tels que .

En passant l'égalité au carré :



D'après le cas d'égalité de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, nous savons que  et  sont liés. Si , l'égalité est vérifiée quelque soit . Supposons donc , ce qui nous permet de dire que . En injectant dans l'égalité :



Ainsi,  ssi  et  sont positivement liés.

Démonstration (deuxième cas d'égalité)

Soit  tels que .

En passant l'égalité au carré :



Nous retombons sur les mêmes calculs que ceux faits dans le premier cas d'égalité. Nous pouvons donc conclure la même chose, c'est-à-dire que  ssi  et  sont positivement liés.


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