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Soit et deux suites réelles adjacentes. Ces deux suites convergent et ont la même limite.
Définition de suites adjacentes : , croissante et décroissante :
Soit et deux suites réelles adjacentes. Commençons par prouver que ces deux suites convergent.
Considérons la suite .
est la somme de deux suites croissantes, elle est donc croissante.
Or selon la définition de suites adjacentes :
Donc on a . Par conséquent .
Donc (respectivement ) est majorée par (respectivement minoré par ), en conséquence, selon le théorème de la limite monotone, et convergent.
Sachant que l'opérateur limite est linéaire on a :
Ce qui signifie que et ont la même limite.
Par analyse-synthèse et par équivalence nous avons prouvé que toutes suites adjacentes convergent vers la même limite.
Sofiane Maths
Des preuves claires ! (Merci de rester critique). Contact si erreur : sofiane.djerbi38@gmail.com