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[Preuve] Théorème des suites adjacentes


Published
Revised
July 18, 2020
2 months ago

Énoncé

Soit  et  deux suites réelles adjacentes. Ces deux suites convergent et ont la même limite.

Définition utilisée

Définition de suites adjacentes : ,  croissante et  décroissante :



Lemmes utilisés

Démonstration

Raisonnement par analyse-synthèse / équivalence

Soit  et  deux suites réelles adjacentes. Commençons par prouver que ces deux suites convergent.

Considérons la suite .

 est la somme de deux suites croissantes, elle est donc croissante.

Or selon la définition de suites adjacentes :



Donc  on a . Par conséquent .

Donc  (respectivement ) est majorée par  (respectivement minoré par ), en conséquence, selon le théorème de la limite monotone,  et  convergent.

Sachant que l'opérateur limite est linéaire on a :



Ce qui signifie que  et  ont la même limite.

Conclusion

Par analyse-synthèse et par équivalence nous avons prouvé que toutes suites adjacentes convergent vers la même limite.


Preuves Mathématiques

Des preuves claires ! (Merci de rester critique). Contact si erreur : sofiane.djerbi38@gmail.com