[Preuve] Théorème des suites adjacentes

Énoncé

Soit $u_n$ et $v_n$ deux suites réelles adjacentes. Ces deux suites convergent et ont la même limite.

Définition utilisée

Définition de suites adjacentes : $u_n<v_n$, $u_n$ croissante et $v_n$ décroissante :

Lemmes utilisés

• Théorème de la limite monotone (Démonstration)
• Linéarité de l'opérateur limite (Démonstration)

Démonstration

Raisonnement par analyse-synthèse / équivalence

Soit $u_n$ et $v_n$ deux suites réelles adjacentes. Commençons par prouver que ces deux suites convergent.

Considérons la suite $w_n=u_n+(-v_n)=u_n-v_n$.

$w_n$ est la somme de deux suites croissantes, elle est donc croissante.

Or selon la définition de suites adjacentes :

Donc $\forall n\in \mathbb{N}$ on a $w_n\le 0$. Par conséquent $u_0\le u_n\le v_n\le v_0$.

Donc $u_n$ (respectivement $v_n$) est majorée par $v_0$ (respectivement minoré par $u_0$), en conséquence, selon le théorème de la limite monotone, $u_n$ et $v_n$ convergent.

Sachant que l'opérateur limite est linéaire on a :

Ce qui signifie que $u_n$ et $v_n$ ont la même limite.

Conclusion

Par analyse-synthèse et par équivalence nous avons prouvé que toutes suites adjacentes convergent vers la même limite.