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[Preuve] Théorème de Bolzano-Weierstrass


Published
Revised
July 20, 2020
3 months ago

Énoncé

Soit  une suite bornée, alors il existe au moins une sous-suite de  convergente.

Définition utilisée

Définition de sous-suite :  sous suite de  si  strictement croissante



Lemmes utilisés

Démonstration

Raisonnement par algorithme et récurrence

Soit  une suite bornée et on note  et .

Soit  une suite de segments emboîtés tel que 

Sachant que  est bornée, l'intervalle  contient une infinité de termes de la suite.

Considérons l'algorithme suivant permettant de construire la suite  :

  1. Soit 
  2. Si l'intervalle  contient une infinité de termes de la suite alors on pose  et 
  3. Sinon, par l'absurde* l'intervalle  contient une infinité de termes de la suite et on pose  et 
  4. Réitérer la première étape.

(* = Car la réunion des deux intervalle doit contenir une infinité de termes et donc il est absurde que les deux intervalles contiennent un nombre fini de termes.)

Donc ,  contient une infinité de termes de la suite .

D'après le théorème des segments emboîtés, 

Soit  une application strictement croissante de  dans  et  ().

Supposons qu'il existe  tel que  et .

Comme l'ensemble  est infini, il d'admet pas de maximum.

En particulier,  qu'on appelle .

Comme , on a , et donc, par encadrement, .

Conclusion

Par algorithme et recurrence nous avons prouvé qu'il existe  tel que  converge vers .


Preuves Mathématiques

Des preuves claires ! (Merci de rester critique). Contact si erreur : sofiane.djerbi38@gmail.com