[Preuve] Théorème de Bolzano-Weierstrass

Énoncé

Soit $u_n$ une suite bornée, alors il existe au moins une sous-suite de $u_n$ convergente.

Définition utilisée

Définition de sous-suite : $v_n$ sous suite de $u_n$ si $\exists \phi \in {\mathbb{N}}^{\mathbb{N}}$ strictement croissante

Lemmes utilisés

• Théorème des segments emboîtés (Démonstration)
• Théorème des gendarmes (Démonstration)

Démonstration

Raisonnement par algorithme et récurrence

Soit $u_n$ une suite bornée et on note $\sup ((u_n))=M$ et $\inf ((u_n))=m$.

Soit $I_n=[a_n,b_n]$ une suite de segments emboîtés tel que $I_0=[m,M]$

Sachant que $u_n$ est bornée, l'intervalle $I_0$ contient une infinité de termes de la suite.

Considérons l'algorithme suivant permettant de construire la suite $I_n$ :

1. Soit $\lambda =\frac{a_n+b_n}{2}$
2. Si l'intervalle $[a_n,\lambda ]$ contient une infinité de termes de la suite alors on pose $b_{n+1}=\lambda$ et $a_{n+1}=a_n$
3. Sinon, par l'absurde* l'intervalle $[\lambda ,b_n]$ contient une infinité de termes de la suite et on pose $a_{n+1}=\lambda$ et $b_{n+1}=b_n$
4. Réitérer la première étape.

(* = Car la réunion des deux intervalle doit contenir une infinité de termes et donc il est absurde que les deux intervalles contiennent un nombre fini de termes.)

Donc $\forall p\in \mathbb{N}$, $I_p$ contient une infinité de termes de la suite $u_n$.

D'après le théorème des segments emboîtés, $\lim a_n=\lim b_n=\bigcap [a_n,b_n]=l$

Soit $\phi$ une application strictement croissante de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$ et $\phi (0)=0$ ($u_{\phi (0)}\in I_0$).

Supposons qu'il existe $\phi (0),\dots ,\phi (n-1)$ tel que $\phi (0)<\cdots <\phi (n-1)$ et $u_{\phi (p)}\in I_p$.

Comme l'ensemble d'entiers naturels $\{p\in \mathbb{N}\mid u_p\in I_n\}$ est infini, il d'admet pas de maximum.

En particulier, $\exists p>\phi (n-1))\mid u_p\in I_n$ qu'on appelle $p=\phi (n)$.

Comme $u_{\phi (p)}\in I_p$, on a $b_p\le u_{\phi (p)}\le a_p$, et donc, par encadrement, $\lim u_{\phi (n)}=l$.

Conclusion

Par algorithme et recurrence nous avons prouvé qu'il existe $\phi$ tel que $u_{\phi (n)}$ converge vers $l$.