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[Preuve] Théorème des segments emboîtés


Published
Revised
July 19, 2020
2 months ago

Énoncé

Soit  une suite de segments décroissants de  tel que .

Alors .

Définitions utilisées

Définition de suites adjacentes : ,  croissante et  décroissante :



Définition d'un segment :  :



Lemmes utilisés

Démonstration

Raisonnement par analyse-synthèse

Par hypothèse on a :



Donc  est croissante et  est décroissante.

Par définition d'un segment on a .

Sachant , par définition  et  sont adjacentes.

Selon le théorème des suites adjacentes,  et  convergent vers la même limite .



Montrons que  est l'unique élément de cette intersection.

Soit , donc  on a , or  donc par encadrement .

Donc  unique élément de .

Conclusion

Par analyse-synthèse, .


Preuves Mathématiques

Des preuves claires ! (Merci de rester critique). Contact si erreur : sofiane.djerbi38@gmail.com