Bienvenue sur Share !
Découvrez

les contenus partagés

Abonnez-vous

aux sources qui vous intéressent

Partagez

vos propres contenus

En utilisant les services de Miple, vous acceptez nos Règles de confidentialité.

[Preuve] Théorème des segments emboîtés


Sofiane Maths
Publié
Révisé
July 19, 2020
Il y a 2 années

Énoncé

Soit  une suite de segments décroissants de  tel que .

Alors il existe un point  tel que .

Définitions utilisées

Définition de suites adjacentes : ,  croissante et  décroissante :



Définition d'un segment :  :



Lemmes utilisés

Démonstration

Raisonnement par analyse-synthèse

Par hypothèse on a :



Donc  est croissante et  est décroissante.

Par définition d'un segment on a .

Sachant , par définition  et  sont adjacentes.

Selon le théorème des suites adjacentes,  et  convergent vers la même limite .



Montrons que  est l'unique élément de cette intersection.

Soit , donc  on a , or  donc par encadrement .

Donc  unique élément de .

Conclusion

Par analyse-synthèse, .


Sofiane Maths

Des preuves claires ! (Merci de rester critique). Contact si erreur : [email protected]