[Preuve] Théorème des segments emboîtés

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July 19, 2020

Il y a 2 années

Énoncé

Soit $[a_{n}, b_{n}]$ une suite de segments décroissants de $R$ tel que $lim (a_{n} - b_{n}) = 0$ .

Alors il existe un point $l$ tel que $⋂ [a_{n}, b_{n}] = {l}$ .

Définition de suites adjacentes : $u_{n} < v_{n}$ , $u_{n}$ croissante et $v_{n}$ décroissante :

lim (u_{n} - v_{n}) = 0

Définition d'un segment : $\forall x \in [a, b]$ :

a < b, a \leq x \leq b

Par hypothèse on a :

[a_{n + 1}, b_{n + 1}] \subset [a_{n}, b_{n}] ⟹ {a_{n} \leq a_{n + 1} b_{n} \geq b_{n + 1}

Donc $a_{n}$ est croissante et $b_{n}$ est décroissante.

Par définition d'un segment on a $a_{n} < b_{n}$ .

Sachant $lim (a_{n} - b_{n}) = 0$ , par définition $a_{n}$ et $b_{n}$ sont adjacentes.

Selon le théorème des suites adjacentes, $a_{n}$ et $b_{n}$ convergent vers la même limite $l$ .

a_{n} \leq l \leq b_{n} ⟹ {l} \in ⋂ [a_{n}, b_{n}]

Montrons que $l$ est l'unique élément de cette intersection.

Soit $x \in ⋂ [a_{n}, b_{n}]$ , donc $\forall n$ on a $a_{n} \leq x \leq b_{n}$ , or $lim a_{n} = lim b_{n} = l$ donc par encadrement $x = l$ .

Donc $l$ unique élément de $⋂ [a_{n}, b_{n}]$ .

Par analyse-synthèse, $⋂ [a_{n}, b_{n}] = {l}$ .

Sofiane Maths

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