Dérivée d'une composition de fonctions et démonstration

La dérivée d'une composition de fonctions fait partie des formules qu'un élève de prépa MPSI/MP se doit de connaître par coeur.

Dérivée d'une composition de fonctions. Si $f$ et $g$ sont deux fonctions réelles dérivables respectivement en $g(a)$ et $a$, alors $f\circ g$ est dérivable en $a$ et :

Démonstration

Pour montrer que $f\circ g$ est dérivable en $a$, il nous faut étudier la limite du taux d'accroissement de $f\circ g$ en $a$ :

Lorsqu'on essaie de calculer la dérivée d'une combinaison de fonctions, une technique classique consiste à faire apparaître le taux d'accroissement des fonctions de la combinaison. C'est ce que nous avons fait pour calculer la dérivée d'un produit de fonctions ou d'un quotient de fonctions.

Nous pouvons donc être tentés de faire apparaître le taux d'accroissement de $f$ en $g(a)$ :

Le problème ici est que rien nous assure que $g(x)-g(a)$ ne s'annule pas. Introduire le taux d'accroissement de $f$ ne va pas nous aider ici.

Plutôt, nous allons utiliser une autre technique. Nous allons utiliser le fait que si $h$ est dérivable en $b$, alors :

où $u$ est une fonction réelle telle que ${\lim }_{t\to b}u(t)=0$.

En remplaçant $h$ par $f$, $b$ par $g(a)$ et $t$ par $g(x)$ :

Donc :

Comme $g$ est dérivable en $a$ et ${\lim }_{x\to a}u(g(x))=0$, nous pouvons conclure :