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Dérivée de la fonction réciproque


Publié
October 7, 2020

Cette démonstration a été rédigée avec soin par Manuel, prof particulier de maths. Si vous êtes en prépa et voulez réussir, vous pouvez demandez son aide ici 😉.

Soit  et  deux intervalles de .

Théorème. Soit  une fonction réelle, bijective de  sur  et dérivable sur . Si  pour , alors  est dérivable en  et :



Démonstration

Soit  tel que . On cherche à montrer que le taux d'accroissement :



a une limite quand  tend vers , pour , et à déterminer cette limite.

 étant la bijection réciproque de  :



Comme (i)  est dérivable en , (ii) , et (iii)  pour tout  par injectivité de , alors :



Comme  est dérivable sur ,  est continue sur  et donc  l'est aussi (preuve). Ainsi,  tend vers  quand  tend vers . Donc :



Ce qui prouve bien que si  et , alors  est dérivable en  et :



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