Dérivée de la fonction réciproque

Cette démonstration a été rédigée avec soin par Manuel, prof particulier de maths. Si vous êtes en prépa et voulez réussir, vous pouvez demandez son aide ici 😉.

Soit $I$ et $J$ deux intervalles de $\mathbb{R}$.

Théorème. Soit $f$ une fonction réelle, bijective de $I$ sur $J$ et dérivable sur $I$. Si $f^{\prime }(f^{-1}(x))\ne 0$ pour $x\in J$, alors $f^{-1}$ est dérivable en $x$ et :

Démonstration

Soit $y_0\in J$ tel que $f^{\prime }(f^{-1}(y_0))\ne 0$. On cherche à montrer que le taux d'accroissement :

a une limite quand $y$ tend vers $y_0$, pour $y\ne y_0$, et à déterminer cette limite.

$f^{-1}$ étant la bijection réciproque de $f$ :

Comme (i) $f$ est dérivable en $x_0=f^{-1}(y_0)$, (ii) $f^{\prime }(x_0)\ne 0$, et (iii) $f(x)\ne f(x_0)$ pour tout $x\in I$ par injectivité de $f$, alors :

Comme $f$ est dérivable sur $I$, $f$ est continue sur $I$ et donc $f^{-1}$ l'est aussi (preuve). Ainsi, $f^{-1}(y)=x$ tend vers $f^{-1}(y_0)=x_0$ quand $y$ tend vers $y_0$. Donc :

Ce qui prouve bien que si $y\in J$ et $f^{\prime }(f^{-1}(y))\ne 0$, alors $f^{-1}$ est dérivable en $y$ et :