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La dérivée de la puissance énième d'une fonction fait partie des formules qu'un élève de prépa MPSI/MP se doit de connaître par coeur.
Dérivée de la puissance d'une fonction. Si est une fonction réelle dérivable en , alors pour tout , est dérivable en et :
Soit une fonction réelle dérivable en . Pour démontrer cette propriété, nous allons procéder par récurrence sur .
L'hypothèse de récurrence au rang est :
Pour , .
Supposons vraie pour un , et montrons que est vraie.
Comme est dérivable en et l'est aussi par hypothèse de récurrence, nous en déduisons que est dérivable par produit, c'est-à-dire que est dérivable fois en .
De plus, en utilisant la formule de dérivée d'un produit :
Par hypothèse de récurrence :
Finalement, est vraie.
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