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Dérivée d'une puissance énième de fonction et démonstration


Published
Revised
June 29, 2020
1 month ago

La dérivée de la puissance énième d'une fonction fait partie des formules qu'un élève de prépa MPSI/MP se doit de connaître par coeur.

Dérivée de la puissance d'une fonction. Si  est une fonction réelle dérivable en , alors pour tout ,  est dérivable en  et :



Démonstration

Soit  une fonction réelle dérivable en . Pour démontrer cette propriété, nous allons procéder par récurrence sur .

L'hypothèse de récurrence  au rang  est :



Initialisation

Pour , .

Hérédité

Supposons  vraie pour un , et montrons que  est vraie.

Comme  est dérivable en  et  l'est aussi par hypothèse de récurrence, nous en déduisons que  est dérivable par produit, c'est-à-dire que  est dérivable  fois en .

De plus, en utilisant la formule de dérivée d'un produit :



Par hypothèse de récurrence :



Finalement,  est vraie.


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